Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75252 / 55796
↖ ↑ ↗
← N 25.829561°
E 26.685791°		 ← 274.85 m → N 25.829561°
E 26.688537°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.827089°
E 26.685791°		 ← 274.86 m →
75 561 m²		 N 25.827089°
E 26.688537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574131011962891 y=0.425693511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574131011962891 × 217)
    floor (0.574131011962891 × 131072)
    floor (75252.5)     		tx = 75252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425693511962891 × 217)
    floor (0.425693511962891 × 131072)
    floor (55796.5)     		ty = 55796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75252 / 55796 ti = "17/75252/55796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75252/55796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75252 ÷ 217
    75252 ÷ 131072     		x = 0.574127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55796 ÷ 217
    55796 ÷ 131072     		y = 0.425689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574127197265625 × 2 - 1) × π
    0.14825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46575492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425689697265625 × 2 - 1) × π
    0.14862060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.466905402299347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46575492} λ = 0.46575492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466905402299347))-π/2
    2×atan(1.59505050816944)-π/2
    2×1.01080360603976-π/2
    2.02160721207952-1.57079632675     		φ = 0.45081089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46575492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45081089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.829561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75252 KachelY 55796 0.46575492 0.45081089 26.685791 25.829561
    Oben rechts KachelX + 1 75253 KachelY 55796 0.46580285 0.45081089 26.688537 25.829561
    Unten links KachelX 75252 KachelY + 1 55797 0.46575492 0.45076774 26.685791 25.827089
    Unten rechts KachelX + 1 75253 KachelY + 1 55797 0.46580285 0.45076774 26.688537 25.827089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45081089-0.45076774) × R
    4.31500000000473e-05 × 6371000     		dl = 274.908650000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45081089-0.45076774) × R
    4.31500000000473e-05 × 6371000     		dr = 274.908650000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46575492-0.46580285) × cos(0.45081089) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.90009409714823 × 6371000     		do = 274.854560696051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46575492-0.46580285) × cos(0.45076774) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900112896573452 × 6371000     		du = 274.860301326699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45081089)-sin(0.45076774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90009409714823-0.900112896573452)×R²
    abs(0.46580285-0.46575492)×1.87994252214274e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87994252214274e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87994252214274e-05×40589641000000     		ar = 75560.6853136089m²