Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75251 / 55823
↖ ↑ ↗
← N 25.762793°
E 26.683044°		 ← 275.07 m → N 25.762793°
E 26.685791°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
N 25.760320°
E 26.683044°		 ← 275.07 m →
75 654 m²		 N 25.760320°
E 26.685791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574123382568359 y=0.425899505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574123382568359 × 217)
    floor (0.574123382568359 × 131072)
    floor (75251.5)     		tx = 75251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425899505615234 × 217)
    floor (0.425899505615234 × 131072)
    floor (55823.5)     		ty = 55823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75251 / 55823 ti = "17/75251/55823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75251/55823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75251 ÷ 217
    75251 ÷ 131072     		x = 0.574119567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55823 ÷ 217
    55823 ÷ 131072     		y = 0.425895690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574119567871094 × 2 - 1) × π
    0.148239135742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46570698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425895690917969 × 2 - 1) × π
    0.148208618164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.465611106009605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46570698} λ = 0.46570698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465611106009605))-π/2
    2×atan(1.59298737565516)-π/2
    2×1.01022094767441-π/2
    2.02044189534882-1.57079632675     		φ = 0.44964557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46570698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.683044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44964557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.762793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75251 KachelY 55823 0.46570698 0.44964557 26.683044 25.762793
    Oben rechts KachelX + 1 75252 KachelY 55823 0.46575492 0.44964557 26.685791 25.762793
    Unten links KachelX 75251 KachelY + 1 55824 0.46570698 0.44960240 26.683044 25.760320
    Unten rechts KachelX + 1 75252 KachelY + 1 55824 0.46575492 0.44960240 26.685791 25.760320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44964557-0.44960240) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dl = 275.036069999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44964557-0.44960240) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dr = 275.036069999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46570698-0.46575492) × cos(0.44964557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900601210626341 × 6371000     		do = 275.066791200584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46570698-0.46575492) × cos(0.44960240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900619973470552 × 6371000     		du = 275.072521856162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44964557)-sin(0.44960240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900601210626341-0.900619973470552)×R²
    abs(0.46575492-0.46570698)×1.87628442105403e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87628442105403e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87628442105403e-05×40589641000000     		ar = 75654.077319576m²