Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75250 / 55794
↖ ↑ ↗
← N 25.834505°
E 26.680298°		 ← 274.90 m → N 25.834505°
E 26.683044°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.832033°
E 26.680298°		 ← 274.91 m →
75 573 m²		 N 25.832033°
E 26.683044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574115753173828 y=0.425678253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574115753173828 × 217)
    floor (0.574115753173828 × 131072)
    floor (75250.5)     		tx = 75250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425678253173828 × 217)
    floor (0.425678253173828 × 131072)
    floor (55794.5)     		ty = 55794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75250 / 55794 ti = "17/75250/55794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75250/55794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75250 ÷ 217
    75250 ÷ 131072     		x = 0.574111938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55794 ÷ 217
    55794 ÷ 131072     		y = 0.425674438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574111938476562 × 2 - 1) × π
    0.148223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46565904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425674438476562 × 2 - 1) × π
    0.148651123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.467001276098587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46565904} λ = 0.46565904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467001276098587))-π/2
    2×atan(1.59520343905256)-π/2
    2×1.01084675285902-π/2
    2.02169350571805-1.57079632675     		φ = 0.45089718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46565904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.680298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45089718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.834505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75250 KachelY 55794 0.46565904 0.45089718 26.680298 25.834505
    Oben rechts KachelX + 1 75251 KachelY 55794 0.46570698 0.45089718 26.683044 25.834505
    Unten links KachelX 75250 KachelY + 1 55795 0.46565904 0.45085403 26.680298 25.832033
    Unten rechts KachelX + 1 75251 KachelY + 1 55795 0.46570698 0.45085403 26.683044 25.832033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45089718-0.45085403) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45089718-0.45085403) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46565904-0.46570698) × cos(0.45089718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900056497627838 × 6371000     		do = 274.90042182961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46565904-0.46570698) × cos(0.45085403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900075300404447 × 6371000     		du = 274.90616468157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45089718)-sin(0.45085403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900056497627838-0.900075300404447)×R²
    abs(0.46570698-0.46565904)×1.88027766089283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88027766089283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88027766089283e-05×40589641000000     		ar = 75573.2932411851m²