Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75250 / 55741
↖ ↑ ↗
← N 25.965453°
E 26.680298°		 ← 274.60 m → N 25.965453°
E 26.683044°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 25.962984°
E 26.680298°		 ← 274.60 m →
75 402 m²		 N 25.962984°
E 26.683044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574115753173828 y=0.425273895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574115753173828 × 217)
    floor (0.574115753173828 × 131072)
    floor (75250.5)     		tx = 75250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425273895263672 × 217)
    floor (0.425273895263672 × 131072)
    floor (55741.5)     		ty = 55741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75250 / 55741 ti = "17/75250/55741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75250/55741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75250 ÷ 217
    75250 ÷ 131072     		x = 0.574111938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55741 ÷ 217
    55741 ÷ 131072     		y = 0.425270080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574111938476562 × 2 - 1) × π
    0.148223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46565904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425270080566406 × 2 - 1) × π
    0.149459838867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.46954193177845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46565904} λ = 0.46565904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46954193177845))-π/2
    2×atan(1.59926145455774)-π/2
    2×1.01198948598537-π/2
    2.02397897197074-1.57079632675     		φ = 0.45318265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46565904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.680298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45318265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.965453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75250 KachelY 55741 0.46565904 0.45318265 26.680298 25.965453
    Oben rechts KachelX + 1 75251 KachelY 55741 0.46570698 0.45318265 26.683044 25.965453
    Unten links KachelX 75250 KachelY + 1 55742 0.46565904 0.45313955 26.680298 25.962984
    Unten rechts KachelX + 1 75251 KachelY + 1 55742 0.46570698 0.45313955 26.683044 25.962984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45318265-0.45313955) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45318265-0.45313955) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46565904-0.46570698) × cos(0.45318265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89905820120458 × 6371000     		do = 274.595516405798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46565904-0.46570698) × cos(0.45313955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899077070805213 × 6371000     		du = 274.601279667534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45318265)-sin(0.45313955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89905820120458-0.899077070805213)×R²
    abs(0.46570698-0.46565904)×1.88696006330202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88696006330202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88696006330202e-05×40589641000000     		ar = 75402.0015885114m²