Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7525 / 5084
↖ ↑ ↗
← N 56.218923°
W 14.655762°		 ← 1 358.51 m → N 56.218923°
W 14.633789°		 →
↑
1 358.68 m
↓
↑
1 358.68 m
↓
N 56.206704°
W 14.655762°		 ← 1 358.95 m →
1 846 080 m²		 N 56.206704°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459320068359375 y=0.310333251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459320068359375 × 214)
    floor (0.459320068359375 × 16384)
    floor (7525.5)     		tx = 7525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310333251953125 × 214)
    floor (0.310333251953125 × 16384)
    floor (5084.5)     		ty = 5084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7525 / 5084 ti = "14/7525/5084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7525/5084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7525 ÷ 214
    7525 ÷ 16384     		x = 0.45928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5084 ÷ 214
    5084 ÷ 16384     		y = 0.310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.0814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25579130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310302734375 × 2 - 1) × π
    0.37939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19190307215308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25579130} λ = -0.25579130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19190307215308))-π/2
    2×atan(3.29334271625561)-π/2
    2×1.27600081917635-π/2
    2.5520016383527-1.57079632675     		φ = 0.98120531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25579130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.655762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98120531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.218923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7525 KachelY 5084 -0.25579130 0.98120531 -14.655762 56.218923
    Oben rechts KachelX + 1 7526 KachelY 5084 -0.25540780 0.98120531 -14.633789 56.218923
    Unten links KachelX 7525 KachelY + 1 5085 -0.25579130 0.98099205 -14.655762 56.206704
    Unten rechts KachelX + 1 7526 KachelY + 1 5085 -0.25540780 0.98099205 -14.633789 56.206704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98120531-0.98099205) × R
    0.000213259999999993 × 6371000     		dl = 1358.67945999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98120531-0.98099205) × R
    0.000213259999999993 × 6371000     		dr = 1358.67945999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25579130--0.25540780) × cos(0.98120531) × R
    0.000383499999999981 × 0.556021135609577 × 6371000     		do = 1358.5144861804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25579130--0.25540780) × cos(0.98099205) × R
    0.000383499999999981 × 0.556198377884438 × 6371000     		du = 1358.94753841985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98120531)-sin(0.98099205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556021135609577-0.556198377884438)×R²
    abs(-0.25540780--0.25579130)×0.000177242274860823×R²
    0.000383499999999981×0.000177242274860823×6371000²
    0.000383499999999981×0.000177242274860823×40589641000000     		ar = 1846079.92507375m²