Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7525 / 4282
↖ ↑ ↗
← N 64.830254°
W 14.655762°		 ← 1 039.13 m → N 64.830254°
W 14.633789°		 →
↑
1 039.30 m
↓
↑
1 039.30 m
↓
N 64.820907°
W 14.655762°		 ← 1 039.49 m →
1 080 156 m²		 N 64.820907°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459320068359375 y=0.261383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459320068359375 × 214)
    floor (0.459320068359375 × 16384)
    floor (7525.5)     		tx = 7525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261383056640625 × 214)
    floor (0.261383056640625 × 16384)
    floor (4282.5)     		ty = 4282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7525 / 4282 ti = "14/7525/4282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7525/4282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7525 ÷ 214
    7525 ÷ 16384     		x = 0.45928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4282 ÷ 214
    4282 ÷ 16384     		y = 0.2613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.0814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25579130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2613525390625 × 2 - 1) × π
    0.477294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49946622011536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25579130} λ = -0.25579130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49946622011536))-π/2
    2×atan(4.4792974732131)-π/2
    2×1.3511488547554-π/2
    2.70229770951081-1.57079632675     		φ = 1.13150138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25579130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.655762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13150138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.830254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7525 KachelY 4282 -0.25579130 1.13150138 -14.655762 64.830254
    Oben rechts KachelX + 1 7526 KachelY 4282 -0.25540780 1.13150138 -14.633789 64.830254
    Unten links KachelX 7525 KachelY + 1 4283 -0.25579130 1.13133825 -14.655762 64.820907
    Unten rechts KachelX + 1 7526 KachelY + 1 4283 -0.25540780 1.13133825 -14.633789 64.820907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13150138-1.13133825) × R
    0.000163130000000011 × 6371000     		dl = 1039.30123000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13150138-1.13133825) × R
    0.000163130000000011 × 6371000     		dr = 1039.30123000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25579130--0.25540780) × cos(1.13150138) × R
    0.000383499999999981 × 0.425301461191619 × 6371000     		do = 1039.12991614802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25579130--0.25540780) × cos(1.13133825) × R
    0.000383499999999981 × 0.425449096623732 × 6371000     		du = 1039.49063062514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13150138)-sin(1.13133825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425301461191619-0.425449096623732)×R²
    abs(-0.25540780--0.25579130)×0.000147635432113047×R²
    0.000383499999999981×0.000147635432113047×6371000²
    0.000383499999999981×0.000147635432113047×40589641000000     		ar = 1080156.44787783m²