Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75249 / 55793
↖ ↑ ↗
← N 25.836977°
E 26.677551°		 ← 274.84 m → N 25.836977°
E 26.680298°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
N 25.834505°
E 26.677551°		 ← 274.84 m →
75 538 m²		 N 25.834505°
E 26.680298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574108123779297 y=0.425670623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574108123779297 × 217)
    floor (0.574108123779297 × 131072)
    floor (75249.5)     		tx = 75249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425670623779297 × 217)
    floor (0.425670623779297 × 131072)
    floor (55793.5)     		ty = 55793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75249 / 55793 ti = "17/75249/55793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75249/55793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75249 ÷ 217
    75249 ÷ 131072     		x = 0.574104309082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55793 ÷ 217
    55793 ÷ 131072     		y = 0.425666809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574104309082031 × 2 - 1) × π
    0.148208618164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46561111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425666809082031 × 2 - 1) × π
    0.148666381835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.467049212998207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46561111} λ = 0.46561111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467049212998207))-π/2
    2×atan(1.59527990999256)-π/2
    2×1.01086832559269-π/2
    2.02173665118539-1.57079632675     		φ = 0.45094032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46561111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.677551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45094032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.836977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75249 KachelY 55793 0.46561111 0.45094032 26.677551 25.836977
    Oben rechts KachelX + 1 75250 KachelY 55793 0.46565904 0.45094032 26.680298 25.836977
    Unten links KachelX 75249 KachelY + 1 55794 0.46561111 0.45089718 26.677551 25.834505
    Unten rechts KachelX + 1 75250 KachelY + 1 55794 0.46565904 0.45089718 26.680298 25.834505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45094032-0.45089718) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dl = 274.844939999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45094032-0.45089718) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dr = 274.844939999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46561111-0.46565904) × cos(0.45094032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.900037697533514 × 6371000     		do = 274.837338395528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46561111-0.46565904) × cos(0.45089718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.900056497627838 × 6371000     		du = 274.843079230495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45094032)-sin(0.45089718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900037697533514-0.900056497627838)×R²
    abs(0.46565904-0.46561111)×1.88000943238675e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88000943238675e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88000943238675e-05×40589641000000     		ar = 75538.4407124375m²