Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75248 / 55345
↖ ↑ ↗
← N 26.939211°
E 26.674805°		 ← 272.28 m → N 26.939211°
E 26.677551°		 →
↑
272.30 m
↓
↑
272.30 m
↓
N 26.936762°
E 26.674805°		 ← 272.29 m →
74 143 m²		 N 26.936762°
E 26.677551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574100494384766 y=0.422252655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574100494384766 × 217)
    floor (0.574100494384766 × 131072)
    floor (75248.5)     		tx = 75248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422252655029297 × 217)
    floor (0.422252655029297 × 131072)
    floor (55345.5)     		ty = 55345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75248 / 55345 ti = "17/75248/55345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75248/55345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75248 ÷ 217
    75248 ÷ 131072     		x = 0.5740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55345 ÷ 217
    55345 ÷ 131072     		y = 0.422248840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5740966796875 × 2 - 1) × π
    0.148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46556317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422248840332031 × 2 - 1) × π
    0.155502319335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.488524944027992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46556317} λ = 0.46556317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488524944027992))-π/2
    2×atan(1.62991023708287)-π/2
    2×1.02048712855439-π/2
    2.04097425710878-1.57079632675     		φ = 0.47017793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46556317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47017793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.939211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75248 KachelY 55345 0.46556317 0.47017793 26.674805 26.939211
    Oben rechts KachelX + 1 75249 KachelY 55345 0.46561111 0.47017793 26.677551 26.939211
    Unten links KachelX 75248 KachelY + 1 55346 0.46556317 0.47013519 26.674805 26.936762
    Unten rechts KachelX + 1 75249 KachelY + 1 55346 0.46561111 0.47013519 26.677551 26.936762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47017793-0.47013519) × R
    4.27400000000411e-05 × 6371000     		dl = 272.296540000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47017793-0.47013519) × R
    4.27400000000411e-05 × 6371000     		dr = 272.296540000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46556317-0.46561111) × cos(0.47017793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891487692025879 × 6371000     		do = 272.283288037718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46556317-0.46561111) × cos(0.47013519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891507054351294 × 6371000     		du = 272.289201790286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47017793)-sin(0.47013519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891487692025879-0.891507054351294)×R²
    abs(0.46561111-0.46556317)×1.93623254155506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93623254155506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93623254155506e-05×40589641000000     		ar = 74142.6023910011m²