Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75246 / 55806
↖ ↑ ↗
← N 25.804837°
E 26.669312°		 ← 274.91 m → N 25.804837°
E 26.672058°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.802364°
E 26.669312°		 ← 274.92 m →
75 576 m²		 N 25.802364°
E 26.672058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574085235595703 y=0.425769805908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574085235595703 × 217)
    floor (0.574085235595703 × 131072)
    floor (75246.5)     		tx = 75246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425769805908203 × 217)
    floor (0.425769805908203 × 131072)
    floor (55806.5)     		ty = 55806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75246 / 55806 ti = "17/75246/55806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75246/55806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75246 ÷ 217
    75246 ÷ 131072     		x = 0.574081420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55806 ÷ 217
    55806 ÷ 131072     		y = 0.425765991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574081420898438 × 2 - 1) × π
    0.148162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46546730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425765991210938 × 2 - 1) × π
    0.148468017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.466426033303146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46546730} λ = 0.46546730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466426033303146))-π/2
    2×atan(1.5942860736462)-π/2
    2×1.01058784491301-π/2
    2.02117568982602-1.57079632675     		φ = 0.45037936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46546730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.669312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45037936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.804837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75246 KachelY 55806 0.46546730 0.45037936 26.669312 25.804837
    Oben rechts KachelX + 1 75247 KachelY 55806 0.46551523 0.45037936 26.672058 25.804837
    Unten links KachelX 75246 KachelY + 1 55807 0.46546730 0.45033621 26.669312 25.802364
    Unten rechts KachelX + 1 75247 KachelY + 1 55807 0.46551523 0.45033621 26.672058 25.802364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45037936-0.45033621) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45037936-0.45033621) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46546730-0.46551523) × cos(0.45037936) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.900282029038139 × 6371000     		do = 274.911947959773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46546730-0.46551523) × cos(0.45033621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.900300811701216 × 6371000     		du = 274.917683471899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45037936)-sin(0.45033621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900282029038139-0.900300811701216)×R²
    abs(0.46551523-0.46546730)×1.87826630769772e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87826630769772e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87826630769772e-05×40589641000000     		ar = 75576.4608652022m²