Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75244 / 55795
↖ ↑ ↗
← N 25.832033°
E 26.663818°		 ← 274.91 m → N 25.832033°
E 26.666565°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
N 25.829561°
E 26.663818°		 ← 274.91 m →
75 557 m²		 N 25.829561°
E 26.666565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574069976806641 y=0.425685882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574069976806641 × 217)
    floor (0.574069976806641 × 131072)
    floor (75244.5)     		tx = 75244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425685882568359 × 217)
    floor (0.425685882568359 × 131072)
    floor (55795.5)     		ty = 55795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75244 / 55795 ti = "17/75244/55795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75244/55795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75244 ÷ 217
    75244 ÷ 131072     		x = 0.574066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55795 ÷ 217
    55795 ÷ 131072     		y = 0.425682067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574066162109375 × 2 - 1) × π
    0.14813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46537142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425682067871094 × 2 - 1) × π
    0.148635864257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.466953339198967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46537142} λ = 0.46537142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466953339198967))-π/2
    2×atan(1.59512697177824)-π/2
    2×1.0108251796747-π/2
    2.0216503593494-1.57079632675     		φ = 0.45085403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46537142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.663818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45085403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.832033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75244 KachelY 55795 0.46537142 0.45085403 26.663818 25.832033
    Oben rechts KachelX + 1 75245 KachelY 55795 0.46541936 0.45085403 26.666565 25.832033
    Unten links KachelX 75244 KachelY + 1 55796 0.46537142 0.45081089 26.663818 25.829561
    Unten rechts KachelX + 1 75245 KachelY + 1 55796 0.46541936 0.45081089 26.666565 25.829561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45085403-0.45081089) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dl = 274.844939999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45085403-0.45081089) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dr = 274.844939999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46537142-0.46541936) × cos(0.45085403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900075300404447 × 6371000     		do = 274.906164681889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46537142-0.46541936) × cos(0.45081089) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90009409714823 × 6371000     		du = 274.911905691268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45085403)-sin(0.45081089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900075300404447-0.90009409714823)×R²
    abs(0.46541936-0.46537142)×1.87967437831338e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87967437831338e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87967437831338e-05×40589641000000     		ar = 75557.3572930071m²