Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75243 / 55812
↖ ↑ ↗
← N 25.790000°
E 26.661072°		 ← 275 m → N 25.790000°
E 26.663818°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
N 25.787526°
E 26.661072°		 ← 275.01 m →
75 637 m²		 N 25.787526°
E 26.663818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574062347412109 y=0.425815582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574062347412109 × 217)
    floor (0.574062347412109 × 131072)
    floor (75243.5)     		tx = 75243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425815582275391 × 217)
    floor (0.425815582275391 × 131072)
    floor (55812.5)     		ty = 55812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75243 / 55812 ti = "17/75243/55812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75243/55812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75243 ÷ 217
    75243 ÷ 131072     		x = 0.574058532714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55812 ÷ 217
    55812 ÷ 131072     		y = 0.425811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574058532714844 × 2 - 1) × π
    0.148117065429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46532348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425811767578125 × 2 - 1) × π
    0.14837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466138411905426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46532348} λ = 0.46532348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466138411905426))-π/2
    2×atan(1.59382758879552)-π/2
    2×1.01045836662147-π/2
    2.02091673324294-1.57079632675     		φ = 0.45012041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46532348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.661072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45012041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.790000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75243 KachelY 55812 0.46532348 0.45012041 26.661072 25.790000
    Oben rechts KachelX + 1 75244 KachelY 55812 0.46537142 0.45012041 26.663818 25.790000
    Unten links KachelX 75243 KachelY + 1 55813 0.46532348 0.45007724 26.661072 25.787526
    Unten rechts KachelX + 1 75244 KachelY + 1 55813 0.46537142 0.45007724 26.663818 25.787526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45012041-0.45007724) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45012041-0.45007724) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46532348-0.46537142) × cos(0.45012041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900394721625244 × 6371000     		do = 275.003724144304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46532348-0.46537142) × cos(0.45007724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900413502928814 × 6371000     		du = 275.009460437845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45012041)-sin(0.45007724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900394721625244-0.900413502928814)×R²
    abs(0.46537142-0.46532348)×1.87813035695816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87813035695816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87813035695816e-05×40589641000000     		ar = 75636.7323796597m²