Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75242 / 55790
↖ ↑ ↗
← N 25.844394°
E 26.658325°		 ← 274.82 m → N 25.844394°
E 26.661072°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.841921°
E 26.658325°		 ← 274.83 m →
75 551 m²		 N 25.841921°
E 26.661072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574054718017578 y=0.425647735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574054718017578 × 217)
    floor (0.574054718017578 × 131072)
    floor (75242.5)     		tx = 75242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425647735595703 × 217)
    floor (0.425647735595703 × 131072)
    floor (55790.5)     		ty = 55790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75242 / 55790 ti = "17/75242/55790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75242/55790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75242 ÷ 217
    75242 ÷ 131072     		x = 0.574050903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55790 ÷ 217
    55790 ÷ 131072     		y = 0.425643920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574050903320312 × 2 - 1) × π
    0.148101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46527555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425643920898438 × 2 - 1) × π
    0.148712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.467193023697067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46527555} λ = 0.46527555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467193023697067))-π/2
    2×atan(1.59550934480849)-π/2
    2×1.01093304108949-π/2
    2.02186608217898-1.57079632675     		φ = 0.45106976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46527555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.658325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45106976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.844394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75242 KachelY 55790 0.46527555 0.45106976 26.658325 25.844394
    Oben rechts KachelX + 1 75243 KachelY 55790 0.46532348 0.45106976 26.661072 25.844394
    Unten links KachelX 75242 KachelY + 1 55791 0.46527555 0.45102661 26.658325 25.841921
    Unten rechts KachelX + 1 75243 KachelY + 1 55791 0.46532348 0.45102661 26.661072 25.841921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45106976-0.45102661) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45106976-0.45102661) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46527555-0.46532348) × cos(0.45106976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.899981278481969 × 6371000     		do = 274.820110159418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46527555-0.46532348) × cos(0.45102661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.900000087960933 × 6371000     		du = 274.825853860097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45106976)-sin(0.45102661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899981278481969-0.900000087960933)×R²
    abs(0.46532348-0.46527555)×1.88094789640436e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88094789640436e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88094789640436e-05×40589641000000     		ar = 75551.2149850093m²