Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75241 / 60060
↖ ↑ ↗
← N 14.870469°
E 26.655579°		 ← 295.20 m → N 14.870469°
E 26.658325°		 →
↑
295.23 m
↓
↑
295.23 m
↓
N 14.867814°
E 26.655579°		 ← 295.20 m →
87 152 m²		 N 14.867814°
E 26.658325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574047088623047 y=0.458225250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574047088623047 × 217)
    floor (0.574047088623047 × 131072)
    floor (75241.5)     		tx = 75241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458225250244141 × 217)
    floor (0.458225250244141 × 131072)
    floor (60060.5)     		ty = 60060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75241 / 60060 ti = "17/75241/60060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75241/60060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75241 ÷ 217
    75241 ÷ 131072     		x = 0.574043273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60060 ÷ 217
    60060 ÷ 131072     		y = 0.458221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574043273925781 × 2 - 1) × π
    0.148086547851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46522761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458221435546875 × 2 - 1) × π
    0.08355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.262502462319427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46522761} λ = 0.46522761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262502462319427))-π/2
    2×atan(1.30017966962221)-π/2
    2×0.915167486435416-π/2
    1.83033497287083-1.57079632675     		φ = 0.25953865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46522761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.655579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25953865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.870469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75241 KachelY 60060 0.46522761 0.25953865 26.655579 14.870469
    Oben rechts KachelX + 1 75242 KachelY 60060 0.46527555 0.25953865 26.658325 14.870469
    Unten links KachelX 75241 KachelY + 1 60061 0.46522761 0.25949231 26.655579 14.867814
    Unten rechts KachelX + 1 75242 KachelY + 1 60061 0.46527555 0.25949231 26.658325 14.867814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25953865-0.25949231) × R
    4.63399999999781e-05 × 6371000     		dl = 295.23213999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25953865-0.25949231) × R
    4.63399999999781e-05 × 6371000     		dr = 295.23213999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46522761-0.46527555) × cos(0.25953865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966508479397855 × 6371000     		do = 295.196567536171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46522761-0.46527555) × cos(0.25949231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966520370811208 × 6371000     		du = 295.200199479894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25953865)-sin(0.25949231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966508479397855-0.966520370811208)×R²
    abs(0.46527555-0.46522761)×1.18914133535597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.18914133535597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.18914133535597e-05×40589641000000     		ar = 87152.0505031424m²