Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75241 / 55767
↖ ↑ ↗
← N 25.901233°
E 26.655579°		 ← 274.75 m → N 25.901233°
E 26.658325°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
N 25.898762°
E 26.655579°		 ← 274.75 m →
75 478 m²		 N 25.898762°
E 26.658325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574047088623047 y=0.425472259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574047088623047 × 217)
    floor (0.574047088623047 × 131072)
    floor (75241.5)     		tx = 75241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425472259521484 × 217)
    floor (0.425472259521484 × 131072)
    floor (55767.5)     		ty = 55767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75241 / 55767 ti = "17/75241/55767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75241/55767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75241 ÷ 217
    75241 ÷ 131072     		x = 0.574043273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55767 ÷ 217
    55767 ÷ 131072     		y = 0.425468444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574043273925781 × 2 - 1) × π
    0.148086547851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46522761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425468444824219 × 2 - 1) × π
    0.149063110351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.468295572388329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46522761} λ = 0.46522761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468295572388329))-π/2
    2×atan(1.59726944166645)-π/2
    2×1.01142905838904-π/2
    2.02285811677807-1.57079632675     		φ = 0.45206179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46522761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.655579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45206179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.901233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75241 KachelY 55767 0.46522761 0.45206179 26.655579 25.901233
    Oben rechts KachelX + 1 75242 KachelY 55767 0.46527555 0.45206179 26.658325 25.901233
    Unten links KachelX 75241 KachelY + 1 55768 0.46522761 0.45201867 26.655579 25.898762
    Unten rechts KachelX + 1 75242 KachelY + 1 55768 0.46527555 0.45201867 26.658325 25.898762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45206179-0.45201867) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dl = 274.717520000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45206179-0.45201867) × R
    4.31200000000076e-05 × 6371000     		dr = 274.717520000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46522761-0.46527555) × cos(0.45206179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899548381509751 × 6371000     		do = 274.745230088238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46522761-0.46527555) × cos(0.45201867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89956721640107 × 6371000     		du = 274.750982748857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45206179)-sin(0.45201867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899548381509751-0.89956721640107)×R²
    abs(0.46527555-0.46522761)×1.88348913183756e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88348913183756e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88348913183756e-05×40589641000000     		ar = 75478.1184317064m²