Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75240 / 55800
↖ ↑ ↗
← N 25.819672°
E 26.652832°		 ← 274.93 m → N 25.819672°
E 26.655579°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.817200°
E 26.652832°		 ← 274.94 m →
75 583 m²		 N 25.817200°
E 26.655579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574039459228516 y=0.425724029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574039459228516 × 217)
    floor (0.574039459228516 × 131072)
    floor (75240.5)     		tx = 75240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425724029541016 × 217)
    floor (0.425724029541016 × 131072)
    floor (55800.5)     		ty = 55800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75240 / 55800 ti = "17/75240/55800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75240/55800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75240 ÷ 217
    75240 ÷ 131072     		x = 0.57403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55800 ÷ 217
    55800 ÷ 131072     		y = 0.42572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42572021484375 × 2 - 1) × π
    0.1485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.466713654700867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46517967} λ = 0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466713654700867))-π/2
    2×atan(1.5947446903859)-π/2
    2×1.01071730699441-π/2
    2.02143461398882-1.57079632675     		φ = 0.45063829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45063829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.819672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75240 KachelY 55800 0.46517967 0.45063829 26.652832 25.819672
    Oben rechts KachelX + 1 75241 KachelY 55800 0.46522761 0.45063829 26.655579 25.819672
    Unten links KachelX 75240 KachelY + 1 55801 0.46517967 0.45059514 26.652832 25.817200
    Unten rechts KachelX + 1 75241 KachelY + 1 55801 0.46522761 0.45059514 26.655579 25.817200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45063829-0.45059514) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45063829-0.45059514) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46517967-0.46522761) × cos(0.45063829) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900169284793334 × 6371000     		do = 274.934869933413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46517967-0.46522761) × cos(0.45059514) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900188077514583 × 6371000     		du = 274.940609714207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45063829)-sin(0.45059514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900169284793334-0.900188077514583)×R²
    abs(0.46522761-0.46517967)×1.87927212496053e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87927212496053e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87927212496053e-05×40589641000000     		ar = 75582.7629006977m²