Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75240 / 55784
↖ ↑ ↗
← N 25.859223°
E 26.652832°		 ← 274.84 m → N 25.859223°
E 26.655579°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
N 25.856752°
E 26.652832°		 ← 274.85 m →
75 522 m²		 N 25.856752°
E 26.655579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574039459228516 y=0.425601959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574039459228516 × 217)
    floor (0.574039459228516 × 131072)
    floor (75240.5)     		tx = 75240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425601959228516 × 217)
    floor (0.425601959228516 × 131072)
    floor (55784.5)     		ty = 55784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75240 / 55784 ti = "17/75240/55784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75240/55784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75240 ÷ 217
    75240 ÷ 131072     		x = 0.57403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55784 ÷ 217
    55784 ÷ 131072     		y = 0.42559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42559814453125 × 2 - 1) × π
    0.1488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.467480645094788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46517967} λ = 0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467480645094788))-π/2
    2×atan(1.59596831343776)-π/2
    2×1.01106245991137-π/2
    2.02212491982273-1.57079632675     		φ = 0.45132859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45132859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.859223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75240 KachelY 55784 0.46517967 0.45132859 26.652832 25.859223
    Oben rechts KachelX + 1 75241 KachelY 55784 0.46522761 0.45132859 26.655579 25.859223
    Unten links KachelX 75240 KachelY + 1 55785 0.46517967 0.45128546 26.652832 25.856752
    Unten rechts KachelX + 1 75241 KachelY + 1 55785 0.46522761 0.45128546 26.655579 25.856752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45132859-0.45128546) × R
    4.31299999999468e-05 × 6371000     		dl = 274.781229999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45132859-0.45128546) × R
    4.31299999999468e-05 × 6371000     		dr = 274.781229999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46517967-0.46522761) × cos(0.45132859) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899868416951114 × 6371000     		do = 274.84297715006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46517967-0.46522761) × cos(0.45128546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899887227758553 × 6371000     		du = 274.848722454843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45132859)-sin(0.45128546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899868416951114-0.899887227758553)×R²
    abs(0.46522761-0.46517967)×1.88108074397064e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88108074397064e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88108074397064e-05×40589641000000     		ar = 75522.4806807514m²