Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75240 / 55719
↖ ↑ ↗
← N 26.019766°
E 26.652832°		 ← 274.47 m → N 26.019766°
E 26.655579°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
N 26.017297°
E 26.652832°		 ← 274.47 m →
75 332 m²		 N 26.017297°
E 26.655579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574039459228516 y=0.425106048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574039459228516 × 217)
    floor (0.574039459228516 × 131072)
    floor (75240.5)     		tx = 75240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425106048583984 × 217)
    floor (0.425106048583984 × 131072)
    floor (55719.5)     		ty = 55719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75240 / 55719 ti = "17/75240/55719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75240/55719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75240 ÷ 217
    75240 ÷ 131072     		x = 0.57403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55719 ÷ 217
    55719 ÷ 131072     		y = 0.425102233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425102233886719 × 2 - 1) × π
    0.149795532226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.470596543570091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46517967} λ = 0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470596543570091))-π/2
    2×atan(1.60094894421248)-π/2
    2×1.01246345517202-π/2
    2.02492691034405-1.57079632675     		φ = 0.45413058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45413058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.019766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75240 KachelY 55719 0.46517967 0.45413058 26.652832 26.019766
    Oben rechts KachelX + 1 75241 KachelY 55719 0.46522761 0.45413058 26.655579 26.019766
    Unten links KachelX 75240 KachelY + 1 55720 0.46517967 0.45408750 26.652832 26.017297
    Unten rechts KachelX + 1 75241 KachelY + 1 55720 0.46522761 0.45408750 26.655579 26.017297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45413058-0.45408750) × R
    4.30800000000287e-05 × 6371000     		dl = 274.462680000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45413058-0.45408750) × R
    4.30800000000287e-05 × 6371000     		dr = 274.462680000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46517967-0.46522761) × cos(0.45413058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898642765961542 × 6371000     		do = 274.468631789589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46517967-0.46522761) × cos(0.45408750) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898661663512955 × 6371000     		du = 274.474403588213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45413058)-sin(0.45408750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898642765961542-0.898661663512955)×R²
    abs(0.46522761-0.46517967)×1.8897551412711e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8897551412711e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8897551412711e-05×40589641000000     		ar = 75332.1883402563m²