Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7524 / 3782
↖ ↑ ↗
← N 69.115611°
W 14.677734°		 ← 870.97 m → N 69.115611°
W 14.655762°		 →
↑
871.17 m
↓
↑
871.17 m
↓
N 69.107777°
W 14.677734°		 ← 871.28 m →
758 896 m²		 N 69.107777°
W 14.655762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459259033203125 y=0.230865478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459259033203125 × 214)
    floor (0.459259033203125 × 16384)
    floor (7524.5)     		tx = 7524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230865478515625 × 214)
    floor (0.230865478515625 × 16384)
    floor (3782.5)     		ty = 3782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7524 / 3782 ti = "14/7524/3782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7524/3782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7524 ÷ 214
    7524 ÷ 16384     		x = 0.459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3782 ÷ 214
    3782 ÷ 16384     		y = 0.2308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2308349609375 × 2 - 1) × π
    0.538330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69121381859558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25617479} λ = -0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69121381859558))-π/2
    2×atan(5.42606296561641)-π/2
    2×1.38854565219482-π/2
    2.77709130438964-1.57079632675     		φ = 1.20629498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20629498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.115611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7524 KachelY 3782 -0.25617479 1.20629498 -14.677734 69.115611
    Oben rechts KachelX + 1 7525 KachelY 3782 -0.25579130 1.20629498 -14.655762 69.115611
    Unten links KachelX 7524 KachelY + 1 3783 -0.25617479 1.20615824 -14.677734 69.107777
    Unten rechts KachelX + 1 7525 KachelY + 1 3783 -0.25579130 1.20615824 -14.655762 69.107777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20629498-1.20615824) × R
    0.00013674000000008 × 6371000     		dl = 871.170540000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20629498-1.20615824) × R
    0.00013674000000008 × 6371000     		dr = 871.170540000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25617479--0.25579130) × cos(1.20629498) × R
    0.000383489999999986 × 0.356483446310132 × 6371000     		do = 870.965628415053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25617479--0.25579130) × cos(1.20615824) × R
    0.000383489999999986 × 0.356611199383108 × 6371000     		du = 871.277756612417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20629498)-sin(1.20615824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356483446310132-0.356611199383108)×R²
    abs(-0.25579130--0.25617479)×0.000127753072976244×R²
    0.000383489999999986×0.000127753072976244×6371000²
    0.000383489999999986×0.000127753072976244×40589641000000     		ar = 758895.556455781m²