Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75239 / 55801
↖ ↑ ↗
← N 25.817200°
E 26.650086°		 ← 274.88 m → N 25.817200°
E 26.652832°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
N 25.814727°
E 26.650086°		 ← 274.89 m →
75 586 m²		 N 25.814727°
E 26.652832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574031829833984 y=0.425731658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574031829833984 × 217)
    floor (0.574031829833984 × 131072)
    floor (75239.5)     		tx = 75239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425731658935547 × 217)
    floor (0.425731658935547 × 131072)
    floor (55801.5)     		ty = 55801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75239 / 55801 ti = "17/75239/55801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75239/55801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75239 ÷ 217
    75239 ÷ 131072     		x = 0.574028015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55801 ÷ 217
    55801 ÷ 131072     		y = 0.425727844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574028015136719 × 2 - 1) × π
    0.148056030273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.46513174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425727844238281 × 2 - 1) × π
    0.148544311523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.466665717801247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46513174} λ = 0.46513174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466665717801247))-π/2
    2×atan(1.59466824510204)-π/2
    2×1.01069573110683-π/2
    2.02139146221366-1.57079632675     		φ = 0.45059514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46513174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.650086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45059514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.817200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75239 KachelY 55801 0.46513174 0.45059514 26.650086 25.817200
    Oben rechts KachelX + 1 75240 KachelY 55801 0.46517967 0.45059514 26.652832 25.817200
    Unten links KachelX 75239 KachelY + 1 55802 0.46513174 0.45055198 26.650086 25.814727
    Unten rechts KachelX + 1 75240 KachelY + 1 55802 0.46517967 0.45055198 26.652832 25.814727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45059514-0.45055198) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45059514-0.45055198) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46513174-0.46517967) × cos(0.45059514) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900188077514583 × 6371000     		do = 274.8832587315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46513174-0.46517967) × cos(0.45055198) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900206872914378 × 6371000     		du = 274.888998132936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45059514)-sin(0.45055198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900188077514583-0.900206872914378)×R²
    abs(0.46517967-0.46513174)×1.87953997943247e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87953997943247e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87953997943247e-05×40589641000000     		ar = 75586.087477947m²