Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75237 / 55765
↖ ↑ ↗
← N 25.906174°
E 26.644592°		 ← 274.73 m → N 25.906174°
E 26.647339°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
N 25.903703°
E 26.644592°		 ← 274.74 m →
75 475 m²		 N 25.903703°
E 26.647339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574016571044922 y=0.425457000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574016571044922 × 217)
    floor (0.574016571044922 × 131072)
    floor (75237.5)     		tx = 75237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425457000732422 × 217)
    floor (0.425457000732422 × 131072)
    floor (55765.5)     		ty = 55765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75237 / 55765 ti = "17/75237/55765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75237/55765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75237 ÷ 217
    75237 ÷ 131072     		x = 0.574012756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55765 ÷ 217
    55765 ÷ 131072     		y = 0.425453186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574012756347656 × 2 - 1) × π
    0.148025512695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.46503586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425453186035156 × 2 - 1) × π
    0.149093627929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.468391446187569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46503586} λ = 0.46503586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468391446187569))-π/2
    2×atan(1.59742258529735)-π/2
    2×1.0114721790465-π/2
    2.02294435809301-1.57079632675     		φ = 0.45214803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46503586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.644592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45214803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.906174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75237 KachelY 55765 0.46503586 0.45214803 26.644592 25.906174
    Oben rechts KachelX + 1 75238 KachelY 55765 0.46508380 0.45214803 26.647339 25.906174
    Unten links KachelX 75237 KachelY + 1 55766 0.46503586 0.45210491 26.644592 25.903703
    Unten rechts KachelX + 1 75238 KachelY + 1 55766 0.46508380 0.45210491 26.647339 25.903703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45214803-0.45210491) × R
    4.31199999999521e-05 × 6371000     		dl = 274.717519999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45214803-0.45210491) × R
    4.31199999999521e-05 × 6371000     		dr = 274.717519999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46503586-0.46508380) × cos(0.45214803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899510706709466 × 6371000     		do = 274.733723234481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46503586-0.46508380) × cos(0.45210491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899529544945872 × 6371000     		du = 274.739476916776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45214803)-sin(0.45210491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899510706709466-0.899529544945872)×R²
    abs(0.46508380-0.46503586)×1.88382364058048e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88382364058048e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88382364058048e-05×40589641000000     		ar = 75474.9574375759m²