Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75235 / 55781
↖ ↑ ↗
← N 25.866638°
E 26.639099°		 ← 274.83 m → N 25.866638°
E 26.641846°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
N 25.864167°
E 26.639099°		 ← 274.83 m →
75 518 m²		 N 25.864167°
E 26.641846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574001312255859 y=0.425579071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574001312255859 × 217)
    floor (0.574001312255859 × 131072)
    floor (75235.5)     		tx = 75235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425579071044922 × 217)
    floor (0.425579071044922 × 131072)
    floor (55781.5)     		ty = 55781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75235 / 55781 ti = "17/75235/55781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75235/55781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75235 ÷ 217
    75235 ÷ 131072     		x = 0.573997497558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55781 ÷ 217
    55781 ÷ 131072     		y = 0.425575256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573997497558594 × 2 - 1) × π
    0.147994995117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46493999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425575256347656 × 2 - 1) × π
    0.148849487304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.467624455793648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46493999} λ = 0.46493999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467624455793648))-π/2
    2×atan(1.59619784726059)-π/2
    2×1.01112716323478-π/2
    2.02225432646957-1.57079632675     		φ = 0.45145800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46493999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.639099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45145800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.866638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75235 KachelY 55781 0.46493999 0.45145800 26.639099 25.866638
    Oben rechts KachelX + 1 75236 KachelY 55781 0.46498793 0.45145800 26.641846 25.866638
    Unten links KachelX 75235 KachelY + 1 55782 0.46493999 0.45141487 26.639099 25.864167
    Unten rechts KachelX + 1 75236 KachelY + 1 55782 0.46498793 0.45141487 26.641846 25.864167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45145800-0.45141487) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dl = 274.781230000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45145800-0.45141487) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dr = 274.781230000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46493999-0.46498793) × cos(0.45145800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899811965759781 × 6371000     		do = 274.825735502856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46493999-0.46498793) × cos(0.45141487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89983078158969 × 6371000     		du = 274.831482341629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45145800)-sin(0.45141487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899811965759781-0.89983078158969)×R²
    abs(0.46498793-0.46493999)×1.88158299082586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88158299082586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88158299082586e-05×40589641000000     		ar = 75517.7432106295m²