Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75234 / 55778
↖ ↑ ↗
← N 25.874052°
E 26.636352°		 ← 274.81 m → N 25.874052°
E 26.639099°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
N 25.871581°
E 26.636352°		 ← 274.81 m →
75 513 m²		 N 25.871581°
E 26.639099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573993682861328 y=0.425556182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573993682861328 × 217)
    floor (0.573993682861328 × 131072)
    floor (75234.5)     		tx = 75234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425556182861328 × 217)
    floor (0.425556182861328 × 131072)
    floor (55778.5)     		ty = 55778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75234 / 55778 ti = "17/75234/55778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75234/55778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75234 ÷ 217
    75234 ÷ 131072     		x = 0.573989868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55778 ÷ 217
    55778 ÷ 131072     		y = 0.425552368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573989868164062 × 2 - 1) × π
    0.147979736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46489205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425552368164062 × 2 - 1) × π
    0.148895263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.467768266492508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46489205} λ = 0.46489205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467768266492508))-π/2
    2×atan(1.59642741409521)-π/2
    2×1.01119186249875-π/2
    2.0223837249975-1.57079632675     		φ = 0.45158740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46489205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.636352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45158740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.874052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75234 KachelY 55778 0.46489205 0.45158740 26.636352 25.874052
    Oben rechts KachelX + 1 75235 KachelY 55778 0.46493999 0.45158740 26.639099 25.874052
    Unten links KachelX 75234 KachelY + 1 55779 0.46489205 0.45154427 26.636352 25.871581
    Unten rechts KachelX + 1 75235 KachelY + 1 55779 0.46493999 0.45154427 26.639099 25.871581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45158740-0.45154427) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dl = 274.781230000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45158740-0.45154427) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dr = 274.781230000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46489205-0.46493999) × cos(0.45158740) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899755503863289 × 6371000     		do = 274.808490586656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46489205-0.46493999) × cos(0.45154427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899774324714962 × 6371000     		du = 274.814238959206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45158740)-sin(0.45154427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899755503863289-0.899774324714962)×R²
    abs(0.46493999-0.46489205)×1.88208516735955e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88208516735955e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88208516735955e-05×40589641000000     		ar = 75513.0048420863m²