Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75232 / 55647
↖ ↑ ↗
← N 26.197341°
E 26.630859°		 ← 274.05 m → N 26.197341°
E 26.633606°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
N 26.194877°
E 26.630859°		 ← 274.06 m →
75 096 m²		 N 26.194877°
E 26.633606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573978424072266 y=0.424556732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573978424072266 × 217)
    floor (0.573978424072266 × 131072)
    floor (75232.5)     		tx = 75232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424556732177734 × 217)
    floor (0.424556732177734 × 131072)
    floor (55647.5)     		ty = 55647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75232 / 55647 ti = "17/75232/55647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75232/55647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75232 ÷ 217
    75232 ÷ 131072     		x = 0.573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55647 ÷ 217
    55647 ÷ 131072     		y = 0.424552917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573974609375 × 2 - 1) × π
    0.14794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46479618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424552917480469 × 2 - 1) × π
    0.150894165039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.474048000342735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46479618} λ = 0.46479618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474048000342735))-π/2
    2×atan(1.60648409696405)-π/2
    2×1.01401309257543-π/2
    2.02802618515085-1.57079632675     		φ = 0.45722986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46479618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.630859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45722986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.197341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75232 KachelY 55647 0.46479618 0.45722986 26.630859 26.197341
    Oben rechts KachelX + 1 75233 KachelY 55647 0.46484412 0.45722986 26.633606 26.197341
    Unten links KachelX 75232 KachelY + 1 55648 0.46479618 0.45718685 26.630859 26.194877
    Unten rechts KachelX + 1 75233 KachelY + 1 55648 0.46484412 0.45718685 26.633606 26.194877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45722986-0.45718685) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dl = 274.016710000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45722986-0.45718685) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dr = 274.016710000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46479618-0.46484412) × cos(0.45722986) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897278856355806 × 6371000     		do = 274.052058688963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46479618-0.46484412) × cos(0.45718685) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897297842901807 × 6371000     		du = 274.057857668826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45722986)-sin(0.45718685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897278856355806-0.897297842901807)×R²
    abs(0.46484412-0.46479618)×1.89865460006322e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89865460006322e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89865460006322e-05×40589641000000     		ar = 75095.6380109676m²