Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75231 / 55775
↖ ↑ ↗
← N 25.881466°
E 26.628113°		 ← 274.79 m → N 25.881466°
E 26.630859°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
N 25.878994°
E 26.628113°		 ← 274.80 m →
75 508 m²		 N 25.878994°
E 26.630859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573970794677734 y=0.425533294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573970794677734 × 217)
    floor (0.573970794677734 × 131072)
    floor (75231.5)     		tx = 75231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425533294677734 × 217)
    floor (0.425533294677734 × 131072)
    floor (55775.5)     		ty = 55775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75231 / 55775 ti = "17/75231/55775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75231/55775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75231 ÷ 217
    75231 ÷ 131072     		x = 0.573966979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55775 ÷ 217
    55775 ÷ 131072     		y = 0.425529479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573966979980469 × 2 - 1) × π
    0.147933959960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46474824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425529479980469 × 2 - 1) × π
    0.148941040039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.467912077191368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46474824} λ = 0.46474824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467912077191368))-π/2
    2×atan(1.59665701394637)-π/2
    2×1.01125655770243-π/2
    2.02251311540487-1.57079632675     		φ = 0.45171679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46474824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.628113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45171679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.881466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75231 KachelY 55775 0.46474824 0.45171679 26.628113 25.881466
    Oben rechts KachelX + 1 75232 KachelY 55775 0.46479618 0.45171679 26.630859 25.881466
    Unten links KachelX 75231 KachelY + 1 55776 0.46474824 0.45167366 26.628113 25.878994
    Unten rechts KachelX + 1 75232 KachelY + 1 55776 0.46479618 0.45167366 26.630859 25.878994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45171679-0.45167366) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dl = 274.781230000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45171679-0.45167366) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dr = 274.781230000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46474824-0.46479618) × cos(0.45171679) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899699031266073 × 6371000     		do = 274.791242401862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46474824-0.46479618) × cos(0.45167366) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899717857138809 × 6371000     		du = 274.796992307973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45171679)-sin(0.45167366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899699031266073-0.899717857138809)×R²
    abs(0.46479618-0.46474824)×1.88258727358281e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88258727358281e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88258727358281e-05×40589641000000     		ar = 75508.2655752915m²