Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75230 / 55782
↖ ↑ ↗
← N 25.864167°
E 26.625366°		 ← 274.83 m → N 25.864167°
E 26.628113°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
N 25.861695°
E 26.625366°		 ← 274.84 m →
75 537 m²		 N 25.861695°
E 26.628113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573963165283203 y=0.425586700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573963165283203 × 217)
    floor (0.573963165283203 × 131072)
    floor (75230.5)     		tx = 75230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425586700439453 × 217)
    floor (0.425586700439453 × 131072)
    floor (55782.5)     		ty = 55782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75230 / 55782 ti = "17/75230/55782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75230/55782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75230 ÷ 217
    75230 ÷ 131072     		x = 0.573959350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55782 ÷ 217
    55782 ÷ 131072     		y = 0.425582885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573959350585938 × 2 - 1) × π
    0.147918701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46470030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425582885742188 × 2 - 1) × π
    0.148834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.467576518894028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46470030} λ = 0.46470030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467576518894028))-π/2
    2×atan(1.59612133231857)-π/2
    2×1.01110559591132-π/2
    2.02221119182264-1.57079632675     		φ = 0.45141487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46470030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.625366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45141487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.864167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75230 KachelY 55782 0.46470030 0.45141487 26.625366 25.864167
    Oben rechts KachelX + 1 75231 KachelY 55782 0.46474824 0.45141487 26.628113 25.864167
    Unten links KachelX 75230 KachelY + 1 55783 0.46470030 0.45137173 26.625366 25.861695
    Unten rechts KachelX + 1 75231 KachelY + 1 55783 0.46474824 0.45137173 26.628113 25.861695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45141487-0.45137173) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dl = 274.844939999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45141487-0.45137173) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dr = 274.844939999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46470030-0.46474824) × cos(0.45141487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89983078158969 × 6371000     		do = 274.831482341629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46470030-0.46474824) × cos(0.45137173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899849600107738 × 6371000     		du = 274.83723000143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45141487)-sin(0.45137173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89983078158969-0.899849600107738)×R²
    abs(0.46474824-0.46470030)×1.88185180488576e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88185180488576e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88185180488576e-05×40589641000000     		ar = 75536.8321435399m²