Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75230 / 55358
↖ ↑ ↗
← N 26.907375°
E 26.625366°		 ← 272.36 m → N 26.907375°
E 26.628113°		 →
↑
272.30 m
↓
↑
272.30 m
↓
N 26.904926°
E 26.625366°		 ← 272.37 m →
74 164 m²		 N 26.904926°
E 26.628113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573963165283203 y=0.422351837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573963165283203 × 217)
    floor (0.573963165283203 × 131072)
    floor (75230.5)     		tx = 75230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422351837158203 × 217)
    floor (0.422351837158203 × 131072)
    floor (55358.5)     		ty = 55358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75230 / 55358 ti = "17/75230/55358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75230/55358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75230 ÷ 217
    75230 ÷ 131072     		x = 0.573959350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55358 ÷ 217
    55358 ÷ 131072     		y = 0.422348022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573959350585938 × 2 - 1) × π
    0.147918701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46470030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422348022460938 × 2 - 1) × π
    0.155303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.487901764332932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46470030} λ = 0.46470030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487901764332932))-π/2
    2×atan(1.62889482654283)-π/2
    2×1.02020931083862-π/2
    2.04041862167724-1.57079632675     		φ = 0.46962229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46470030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.625366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46962229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.907375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75230 KachelY 55358 0.46470030 0.46962229 26.625366 26.907375
    Oben rechts KachelX + 1 75231 KachelY 55358 0.46474824 0.46962229 26.628113 26.907375
    Unten links KachelX 75230 KachelY + 1 55359 0.46470030 0.46957955 26.625366 26.904926
    Unten rechts KachelX + 1 75231 KachelY + 1 55359 0.46474824 0.46957955 26.628113 26.904926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46962229-0.46957955) × R
    4.27399999999856e-05 × 6371000     		dl = 272.296539999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46962229-0.46957955) × R
    4.27399999999856e-05 × 6371000     		dr = 272.296539999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46470030-0.46474824) × cos(0.46962229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891739284272387 × 6371000     		do = 272.360130785786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46470030-0.46474824) × cos(0.46957955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891758625423488 × 6371000     		du = 272.366038071173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46962229)-sin(0.46957955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891739284272387-0.891758625423488)×R²
    abs(0.46474824-0.46470030)×1.93411511003605e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93411511003605e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93411511003605e-05×40589641000000     		ar = 74163.5255248652m²