Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7523 / 3783
↖ ↑ ↗
← N 69.107777°
W 14.699707°		 ← 871.30 m → N 69.107777°
W 14.677734°		 →
↑
871.43 m
↓
↑
871.43 m
↓
N 69.099940°
W 14.699707°		 ← 871.61 m →
759 409 m²		 N 69.099940°
W 14.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459197998046875 y=0.230926513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459197998046875 × 214)
    floor (0.459197998046875 × 16384)
    floor (7523.5)     		tx = 7523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230926513671875 × 214)
    floor (0.230926513671875 × 16384)
    floor (3783.5)     		ty = 3783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7523 / 3783 ti = "14/7523/3783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7523/3783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7523 ÷ 214
    7523 ÷ 16384     		x = 0.45916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3783 ÷ 214
    3783 ÷ 16384     		y = 0.23089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25655829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23089599609375 × 2 - 1) × π
    0.5382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69083032339862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25655829} λ = -0.25655829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69083032339862))-π/2
    2×atan(5.42398249548134)-π/2
    2×1.38847728510264-π/2
    2.77695457020527-1.57079632675     		φ = 1.20615824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25655829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.699707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20615824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.107777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7523 KachelY 3783 -0.25655829 1.20615824 -14.699707 69.107777
    Oben rechts KachelX + 1 7524 KachelY 3783 -0.25617479 1.20615824 -14.677734 69.107777
    Unten links KachelX 7523 KachelY + 1 3784 -0.25655829 1.20602146 -14.699707 69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 7524 KachelY + 1 3784 -0.25617479 1.20602146 -14.677734 69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20615824-1.20602146) × R
    0.000136779999999836 × 6371000     		dl = 871.425379998958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20615824-1.20602146) × R
    0.000136779999999836 × 6371000     		dr = 871.425379998958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25655829--0.25617479) × cos(1.20615824) × R
    0.000383500000000037 × 0.356611199383108 × 6371000     		do = 871.300476312044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25655829--0.25617479) × cos(1.20602146) × R
    0.000383500000000037 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 871.612687657961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20615824)-sin(1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356611199383108-0.356738983156393)×R²
    abs(-0.25617479--0.25655829)×0.000127783773285484×R²
    0.000383500000000037×0.000127783773285484×6371000²
    0.000383500000000037×0.000127783773285484×40589641000000     		ar = 759409.384292982m²