Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7523 / 10698
↖ ↑ ↗
← S 48.136767°
W 14.699707°		 ← 1 630.53 m → S 48.136767°
W 14.677734°		 →
↑
1 630.28 m
↓
↑
1 630.28 m
↓
S 48.151428°
W 14.699707°		 ← 1 630.07 m →
2 657 839 m²		 S 48.151428°
W 14.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459197998046875 y=0.652984619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459197998046875 × 214)
    floor (0.459197998046875 × 16384)
    floor (7523.5)     		tx = 7523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652984619140625 × 214)
    floor (0.652984619140625 × 16384)
    floor (10698.5)     		ty = 10698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7523 / 10698 ti = "14/7523/10698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7523/10698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7523 ÷ 214
    7523 ÷ 16384     		x = 0.45916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10698 ÷ 214
    10698 ÷ 16384     		y = 0.6529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25655829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.961038963582886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25655829} λ = -0.25655829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961038963582886))-π/2
    2×atan(0.382495280794855)-π/2
    2×0.365325628494146-π/2
    0.730651256988292-1.57079632675     		φ = -0.84014507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25655829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.699707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84014507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.136767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7523 KachelY 10698 -0.25655829 -0.84014507 -14.699707 -48.136767
    Oben rechts KachelX + 1 7524 KachelY 10698 -0.25617479 -0.84014507 -14.677734 -48.136767
    Unten links KachelX 7523 KachelY + 1 10699 -0.25655829 -0.84040096 -14.699707 -48.151428
    Unten rechts KachelX + 1 7524 KachelY + 1 10699 -0.25617479 -0.84040096 -14.677734 -48.151428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84014507--0.84040096) × R
    0.000255889999999925 × 6371000     		dl = 1630.27518999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84014507--0.84040096) × R
    0.000255889999999925 × 6371000     		dr = 1630.27518999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25655829--0.25617479) × cos(-0.84014507) × R
    0.000383500000000037 × 0.667354793440794 × 6371000     		do = 1630.53361868599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25655829--0.25617479) × cos(-0.84040096) × R
    0.000383500000000037 × 0.667164200090286 × 6371000     		du = 1630.06794605045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84014507)-sin(-0.84040096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667354793440794-0.667164200090286)×R²
    abs(-0.25617479--0.25655829)×0.000190593350507307×R²
    0.000383500000000037×0.000190593350507307×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190593350507307×40589641000000     		ar = 2657838.93223432m²