Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75225 / 55815
↖ ↑ ↗
← N 25.782581°
E 26.611633°		 ← 275.02 m → N 25.782581°
E 26.614380°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
N 25.780107°
E 26.611633°		 ← 275.03 m →
75 641 m²		 N 25.780107°
E 26.614380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573925018310547 y=0.425838470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573925018310547 × 217)
    floor (0.573925018310547 × 131072)
    floor (75225.5)     		tx = 75225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425838470458984 × 217)
    floor (0.425838470458984 × 131072)
    floor (55815.5)     		ty = 55815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75225 / 55815 ti = "17/75225/55815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75225/55815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75225 ÷ 217
    75225 ÷ 131072     		x = 0.573921203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55815 ÷ 217
    55815 ÷ 131072     		y = 0.425834655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573921203613281 × 2 - 1) × π
    0.147842407226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46446062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425834655761719 × 2 - 1) × π
    0.148330688476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.465994601206566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46446062} λ = 0.46446062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465994601206566))-π/2
    2×atan(1.5935983958167)-π/2
    2×1.01039362139898-π/2
    2.02078724279796-1.57079632675     		φ = 0.44999092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46446062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.611633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44999092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.782581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75225 KachelY 55815 0.46446062 0.44999092 26.611633 25.782581
    Oben rechts KachelX + 1 75226 KachelY 55815 0.46450856 0.44999092 26.614380 25.782581
    Unten links KachelX 75225 KachelY + 1 55816 0.46446062 0.44994775 26.611633 25.780107
    Unten rechts KachelX + 1 75226 KachelY + 1 55816 0.46450856 0.44994775 26.614380 25.780107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44999092-0.44994775) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44999092-0.44994775) × R
    4.31700000000368e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46446062-0.46450856) × cos(0.44999092) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900451051802607 × 6371000     		do = 275.020928830728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46446062-0.46450856) × cos(0.44994775) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900469828072685 × 6371000     		du = 275.026663586911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44999092)-sin(0.44994775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900451051802607-0.900469828072685)×R²
    abs(0.46450856-0.46446062)×1.87762700781802e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87762700781802e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87762700781802e-05×40589641000000     		ar = 75641.4640775511m²