Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75224 / 55832
↖ ↑ ↗
← N 25.740529°
E 26.608887°		 ← 275.12 m → N 25.740529°
E 26.611633°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
N 25.738055°
E 26.608887°		 ← 275.12 m →
75 686 m²		 N 25.738055°
E 26.611633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573917388916016 y=0.425968170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573917388916016 × 217)
    floor (0.573917388916016 × 131072)
    floor (75224.5)     		tx = 75224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425968170166016 × 217)
    floor (0.425968170166016 × 131072)
    floor (55832.5)     		ty = 55832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75224 / 55832 ti = "17/75224/55832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75224/55832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75224 ÷ 217
    75224 ÷ 131072     		x = 0.57391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55832 ÷ 217
    55832 ÷ 131072     		y = 0.42596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57391357421875 × 2 - 1) × π
    0.1478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46441268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42596435546875 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.465179673913025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46441268} λ = 0.46441268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465179673913025))-π/2
    2×atan(1.59230025800482)-π/2
    2×1.0100266553286-π/2
    2.0200533106572-1.57079632675     		φ = 0.44925698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46441268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.608887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44925698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.740529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75224 KachelY 55832 0.46441268 0.44925698 26.608887 25.740529
    Oben rechts KachelX + 1 75225 KachelY 55832 0.46446062 0.44925698 26.611633 25.740529
    Unten links KachelX 75224 KachelY + 1 55833 0.46441268 0.44921380 26.608887 25.738055
    Unten rechts KachelX + 1 75225 KachelY + 1 55833 0.46446062 0.44921380 26.611633 25.738055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44925698-0.44921380) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dl = 275.099779999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44925698-0.44921380) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dr = 275.099779999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46441268-0.46446062) × cos(0.44925698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900770041855264 × 6371000     		do = 275.118356603295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46441268-0.46446062) × cos(0.44921380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900788793932503 × 6371000     		du = 275.124083970362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44925698)-sin(0.44921380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900770041855264-0.900788793932503)×R²
    abs(0.46446062-0.46441268)×1.87520772388927e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87520772388927e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87520772388927e-05×40589641000000     		ar = 75685.7871860142m²