Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75222 / 55830
↖ ↑ ↗
← N 25.745477°
E 26.603394°		 ← 275.11 m → N 25.745477°
E 26.606140°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
N 25.743003°
E 26.603394°		 ← 275.11 m →
75 683 m²		 N 25.743003°
E 26.606140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573902130126953 y=0.425952911376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573902130126953 × 217)
    floor (0.573902130126953 × 131072)
    floor (75222.5)     		tx = 75222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425952911376953 × 217)
    floor (0.425952911376953 × 131072)
    floor (55830.5)     		ty = 55830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75222 / 55830 ti = "17/75222/55830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75222/55830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75222 ÷ 217
    75222 ÷ 131072     		x = 0.573898315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55830 ÷ 217
    55830 ÷ 131072     		y = 0.425949096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573898315429688 × 2 - 1) × π
    0.147796630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46431681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425949096679688 × 2 - 1) × π
    0.148101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.465275547712265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46431681} λ = 0.46431681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465275547712265))-π/2
    2×atan(1.59245292519836)-π/2
    2×1.0100698345526-π/2
    2.02013966910519-1.57079632675     		φ = 0.44934334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46431681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.603394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44934334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.745477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75222 KachelY 55830 0.46431681 0.44934334 26.603394 25.745477
    Oben rechts KachelX + 1 75223 KachelY 55830 0.46436475 0.44934334 26.606140 25.745477
    Unten links KachelX 75222 KachelY + 1 55831 0.46431681 0.44930016 26.603394 25.743003
    Unten rechts KachelX + 1 75223 KachelY + 1 55831 0.46436475 0.44930016 26.606140 25.743003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44934334-0.44930016) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dl = 275.099779999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44934334-0.44930016) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dr = 275.099779999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46431681-0.46436475) × cos(0.44934334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900732532662331 × 6371000     		do = 275.106900330286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46431681-0.46436475) × cos(0.44930016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900751288098528 × 6371000     		du = 275.112628723266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44934334)-sin(0.44930016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900732532662331-0.900751288098528)×R²
    abs(0.46436475-0.46431681)×1.87554361977815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87554361977815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87554361977815e-05×40589641000000     		ar = 75682.6357088593m²