Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75221 / 55307
↖ ↑ ↗
← N 27.032218°
E 26.600647°		 ← 272.06 m → N 27.032218°
E 26.603394°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
N 27.029771°
E 26.600647°		 ← 272.06 m →
74 012 m²		 N 27.029771°
E 26.603394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573894500732422 y=0.421962738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573894500732422 × 217)
    floor (0.573894500732422 × 131072)
    floor (75221.5)     		tx = 75221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421962738037109 × 217)
    floor (0.421962738037109 × 131072)
    floor (55307.5)     		ty = 55307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75221 / 55307 ti = "17/75221/55307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75221/55307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75221 ÷ 217
    75221 ÷ 131072     		x = 0.573890686035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55307 ÷ 217
    55307 ÷ 131072     		y = 0.421958923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573890686035156 × 2 - 1) × π
    0.147781372070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.46426887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421958923339844 × 2 - 1) × π
    0.156082153320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.490346546213554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46426887} λ = 0.46426887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490346546213554))-π/2
    2×atan(1.63288199098797)-π/2
    2×1.02129876120856-π/2
    2.04259752241712-1.57079632675     		φ = 0.47180120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46426887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.600647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47180120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.032218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75221 KachelY 55307 0.46426887 0.47180120 26.600647 27.032218
    Oben rechts KachelX + 1 75222 KachelY 55307 0.46431681 0.47180120 26.603394 27.032218
    Unten links KachelX 75221 KachelY + 1 55308 0.46426887 0.47175850 26.600647 27.029771
    Unten rechts KachelX + 1 75222 KachelY + 1 55308 0.46431681 0.47175850 26.603394 27.029771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47180120-0.47175850) × R
    4.26999999999511e-05 × 6371000     		dl = 272.041699999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47180120-0.47175850) × R
    4.26999999999511e-05 × 6371000     		dr = 272.041699999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46426887-0.46431681) × cos(0.47180120) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.890751103592525 × 6371000     		do = 272.0583149707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46426887-0.46431681) × cos(0.47175850) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.890770509565072 × 6371000     		du = 272.064242054226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47180120)-sin(0.47175850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890751103592525-0.890770509565072)×R²
    abs(0.46431681-0.46426887)×1.94059725466822e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94059725466822e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94059725466822e-05×40589641000000     		ar = 74012.012721869m²