Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75220 / 55829
↖ ↑ ↗
← N 25.747951°
E 26.597901°		 ← 275.04 m → N 25.747951°
E 26.600647°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
N 25.745477°
E 26.597901°		 ← 275.05 m →
75 665 m²		 N 25.745477°
E 26.600647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573886871337891 y=0.425945281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573886871337891 × 217)
    floor (0.573886871337891 × 131072)
    floor (75220.5)     		tx = 75220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425945281982422 × 217)
    floor (0.425945281982422 × 131072)
    floor (55829.5)     		ty = 55829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75220 / 55829 ti = "17/75220/55829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75220/55829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75220 ÷ 217
    75220 ÷ 131072     		x = 0.573883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55829 ÷ 217
    55829 ÷ 131072     		y = 0.425941467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573883056640625 × 2 - 1) × π
    0.14776611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46422094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425941467285156 × 2 - 1) × π
    0.148117065429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.465323484611885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46422094} λ = 0.46422094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465323484611885))-π/2
    2×atan(1.5925292642841)-π/2
    2×1.0100914234903-π/2
    2.0201828469806-1.57079632675     		φ = 0.44938652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46422094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.597901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44938652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.747951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75220 KachelY 55829 0.46422094 0.44938652 26.597901 25.747951
    Oben rechts KachelX + 1 75221 KachelY 55829 0.46426887 0.44938652 26.600647 25.747951
    Unten links KachelX 75220 KachelY + 1 55830 0.46422094 0.44934334 26.597901 25.745477
    Unten rechts KachelX + 1 75221 KachelY + 1 55830 0.46426887 0.44934334 26.600647 25.745477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44938652-0.44934334) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dl = 275.099780000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44938652-0.44934334) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dr = 275.099780000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46422094-0.46426887) × cos(0.44938652) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900713775546706 × 6371000     		do = 275.043786949756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46422094-0.46426887) × cos(0.44934334) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900732532662331 × 6371000     		du = 275.04951466066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44938652)-sin(0.44934334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900713775546706-0.900732532662331)×R²
    abs(0.46426887-0.46422094)×1.87571156247124e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87571156247124e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87571156247124e-05×40589641000000     		ar = 75665.2731380665m²