Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7522 / 5069
↖ ↑ ↗
← N 56.401744°
W 14.721680°		 ← 1 351.99 m → N 56.401744°
W 14.699707°		 →
↑
1 352.18 m
↓
↑
1 352.18 m
↓
N 56.389584°
W 14.721680°		 ← 1 352.42 m →
1 828 431 m²		 N 56.389584°
W 14.699707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459136962890625 y=0.309417724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459136962890625 × 214)
    floor (0.459136962890625 × 16384)
    floor (7522.5)     		tx = 7522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309417724609375 × 214)
    floor (0.309417724609375 × 16384)
    floor (5069.5)     		ty = 5069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7522 / 5069 ti = "14/7522/5069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7522/5069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7522 ÷ 214
    7522 ÷ 16384     		x = 0.4591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5069 ÷ 214
    5069 ÷ 16384     		y = 0.30938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25694178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30938720703125 × 2 - 1) × π
    0.3812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19765550010748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25694178} λ = -0.25694178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19765550010748))-π/2
    2×atan(3.31234202665091)-π/2
    2×1.27759623514892-π/2
    2.55519247029785-1.57079632675     		φ = 0.98439614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25694178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.721680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98439614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.401744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7522 KachelY 5069 -0.25694178 0.98439614 -14.721680 56.401744
    Oben rechts KachelX + 1 7523 KachelY 5069 -0.25655829 0.98439614 -14.699707 56.401744
    Unten links KachelX 7522 KachelY + 1 5070 -0.25694178 0.98418390 -14.721680 56.389584
    Unten rechts KachelX + 1 7523 KachelY + 1 5070 -0.25655829 0.98418390 -14.699707 56.389584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98439614-0.98418390) × R
    0.000212239999999975 × 6371000     		dl = 1352.18103999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98439614-0.98418390) × R
    0.000212239999999975 × 6371000     		dr = 1352.18103999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25694178--0.25655829) × cos(0.98439614) × R
    0.000383489999999986 × 0.553366193302472 × 6371000     		do = 1351.99246776255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25694178--0.25655829) × cos(0.98418390) × R
    0.000383489999999986 × 0.553542963617229 × 6371000     		du = 1352.42435561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98439614)-sin(0.98418390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553366193302472-0.553542963617229)×R²
    abs(-0.25655829--0.25694178)×0.000176770314756602×R²
    0.000383489999999986×0.000176770314756602×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176770314756602×40589641000000     		ar = 1828430.58327325m²