Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75219 / 55598
↖ ↑ ↗
← N 26.318037°
E 26.595154°		 ← 273.77 m → N 26.318037°
E 26.597901°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.315575°
E 26.595154°		 ← 273.77 m →
74 948 m²		 N 26.315575°
E 26.597901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573879241943359 y=0.424182891845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573879241943359 × 217)
    floor (0.573879241943359 × 131072)
    floor (75219.5)     		tx = 75219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424182891845703 × 217)
    floor (0.424182891845703 × 131072)
    floor (55598.5)     		ty = 55598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75219 / 55598 ti = "17/75219/55598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75219/55598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75219 ÷ 217
    75219 ÷ 131072     		x = 0.573875427246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55598 ÷ 217
    55598 ÷ 131072     		y = 0.424179077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573875427246094 × 2 - 1) × π
    0.147750854492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46417300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424179077148438 × 2 - 1) × π
    0.151641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.476396908424118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46417300} λ = 0.46417300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476396908424118))-π/2
    2×atan(1.61026201569693)-π/2
    2×1.01506635838414-π/2
    2.03013271676827-1.57079632675     		φ = 0.45933639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46417300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.595154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45933639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.318037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75219 KachelY 55598 0.46417300 0.45933639 26.595154 26.318037
    Oben rechts KachelX + 1 75220 KachelY 55598 0.46422094 0.45933639 26.597901 26.318037
    Unten links KachelX 75219 KachelY + 1 55599 0.46417300 0.45929342 26.595154 26.315575
    Unten rechts KachelX + 1 75220 KachelY + 1 55599 0.46422094 0.45929342 26.597901 26.315575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45933639-0.45929342) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45933639-0.45929342) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46417300-0.46422094) × cos(0.45933639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896346908606165 × 6371000     		do = 273.767417857888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46417300-0.46422094) × cos(0.45929342) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896365958673375 × 6371000     		du = 273.773236238762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45933639)-sin(0.45929342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896346908606165-0.896365958673375)×R²
    abs(0.46422094-0.46417300)×1.90500672098137e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90500672098137e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90500672098137e-05×40589641000000     		ar = 74947.8766946779m²