Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75219 / 55354
↖ ↑ ↗
← N 26.917172°
E 26.595154°		 ← 272.34 m → N 26.917172°
E 26.597901°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
N 26.914723°
E 26.595154°		 ← 272.34 m →
74 174 m²		 N 26.914723°
E 26.597901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573879241943359 y=0.422321319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573879241943359 × 217)
    floor (0.573879241943359 × 131072)
    floor (75219.5)     		tx = 75219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422321319580078 × 217)
    floor (0.422321319580078 × 131072)
    floor (55354.5)     		ty = 55354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75219 / 55354 ti = "17/75219/55354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75219/55354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75219 ÷ 217
    75219 ÷ 131072     		x = 0.573875427246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55354 ÷ 217
    55354 ÷ 131072     		y = 0.422317504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573875427246094 × 2 - 1) × π
    0.147750854492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.46417300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422317504882812 × 2 - 1) × π
    0.155364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.488093511931412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46417300} λ = 0.46417300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488093511931412))-π/2
    2×atan(1.62920719316081)-π/2
    2×1.02029480156181-π/2
    2.04058960312363-1.57079632675     		φ = 0.46979328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46417300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.595154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46979328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.917172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75219 KachelY 55354 0.46417300 0.46979328 26.595154 26.917172
    Oben rechts KachelX + 1 75220 KachelY 55354 0.46422094 0.46979328 26.597901 26.917172
    Unten links KachelX 75219 KachelY + 1 55355 0.46417300 0.46975053 26.595154 26.914723
    Unten rechts KachelX + 1 75220 KachelY + 1 55355 0.46422094 0.46975053 26.597901 26.914723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46979328-0.46975053) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dl = 272.360249999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46979328-0.46975053) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dr = 272.360249999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46417300-0.46422094) × cos(0.46979328) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891661889797811 × 6371000     		do = 272.336492521432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46417300-0.46422094) × cos(0.46975053) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891681241992269 × 6371000     		du = 272.342403179745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46979328)-sin(0.46975053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891661889797811-0.891681241992269)×R²
    abs(0.46422094-0.46417300)×1.93521944579222e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93521944579222e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93521944579222e-05×40589641000000     		ar = 74174.4401126601m²