Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75217 / 56369
↖ ↑ ↗
← N 24.404637°
E 26.589661°		 ← 278.08 m → N 24.404637°
E 26.592407°		 →
↑
278.09 m
↓
↑
278.09 m
↓
N 24.402136°
E 26.589661°		 ← 278.08 m →
77 333 m²		 N 24.402136°
E 26.592407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573863983154297 y=0.430065155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573863983154297 × 217)
    floor (0.573863983154297 × 131072)
    floor (75217.5)     		tx = 75217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430065155029297 × 217)
    floor (0.430065155029297 × 131072)
    floor (56369.5)     		ty = 56369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75217 / 56369 ti = "17/75217/56369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75217/56369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75217 ÷ 217
    75217 ÷ 131072     		x = 0.573860168457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56369 ÷ 217
    56369 ÷ 131072     		y = 0.430061340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573860168457031 × 2 - 1) × π
    0.147720336914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46407713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430061340332031 × 2 - 1) × π
    0.139877319335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.439437558817055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46407713} λ = 0.46407713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439437558817055))-π/2
    2×atan(1.55183415757232)-π/2
    2×0.998368795559991-π/2
    1.99673759111998-1.57079632675     		φ = 0.42594126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46407713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.589661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42594126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.404637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75217 KachelY 56369 0.46407713 0.42594126 26.589661 24.404637
    Oben rechts KachelX + 1 75218 KachelY 56369 0.46412506 0.42594126 26.592407 24.404637
    Unten links KachelX 75217 KachelY + 1 56370 0.46407713 0.42589761 26.589661 24.402136
    Unten rechts KachelX + 1 75218 KachelY + 1 56370 0.46412506 0.42589761 26.592407 24.402136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42594126-0.42589761) × R
    4.36500000000062e-05 × 6371000     		dl = 278.094150000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42594126-0.42589761) × R
    4.36500000000062e-05 × 6371000     		dr = 278.094150000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46407713-0.46412506) × cos(0.42594126) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.910650228375678 × 6371000     		do = 278.078002356609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46407713-0.46412506) × cos(0.42589761) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.910668262733212 × 6371000     		du = 278.083509364635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42594126)-sin(0.42589761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910650228375678-0.910668262733212)×R²
    abs(0.46412506-0.46407713)×1.80343575343356e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.80343575343356e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.80343575343356e-05×40589641000000     		ar = 77332.6314447274m²