Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75216 / 78288
↖ ↑ ↗
← S 33.027088°
E 26.586914°		 ← 256.07 m → S 33.027088°
E 26.589661°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
S 33.029390°
E 26.586914°		 ← 256.07 m →
65 567 m²		 S 33.029390°
E 26.589661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573856353759766 y=0.597293853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573856353759766 × 217)
    floor (0.573856353759766 × 131072)
    floor (75216.5)     		tx = 75216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597293853759766 × 217)
    floor (0.597293853759766 × 131072)
    floor (78288.5)     		ty = 78288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75216 / 78288 ti = "17/75216/78288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75216/78288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75216 ÷ 217
    75216 ÷ 131072     		x = 0.5738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78288 ÷ 217
    78288 ÷ 131072     		y = 0.5972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.611291343954956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46402919} λ = 0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611291343954956))-π/2
    2×atan(0.542649669056944)-π/2
    2×0.497182453096759-π/2
    0.994364906193518-1.57079632675     		φ = -0.57643142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57643142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.027088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75216 KachelY 78288 0.46402919 -0.57643142 26.586914 -33.027088
    Oben rechts KachelX + 1 75217 KachelY 78288 0.46407713 -0.57643142 26.589661 -33.027088
    Unten links KachelX 75216 KachelY + 1 78289 0.46402919 -0.57647161 26.586914 -33.029390
    Unten rechts KachelX + 1 75217 KachelY + 1 78289 0.46407713 -0.57647161 26.589661 -33.029390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57643142--0.57647161) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57643142--0.57647161) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46402919-0.46407713) × cos(-0.57643142) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838412986953479 × 6371000     		do = 256.072906966005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46402919-0.46407713) × cos(-0.57647161) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838391081300837 × 6371000     		du = 256.066216415837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57643142)-sin(-0.57647161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838412986953479-0.838391081300837)×R²
    abs(0.46407713-0.46402919)×2.19056526415962e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19056526415962e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19056526415962e-05×40589641000000     		ar = 65566.736753868m²