Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75216 / 55824
↖ ↑ ↗
← N 25.760320°
E 26.586914°		 ← 275.07 m → N 25.760320°
E 26.589661°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
N 25.757846°
E 26.586914°		 ← 275.08 m →
75 673 m²		 N 25.757846°
E 26.589661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573856353759766 y=0.425907135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573856353759766 × 217)
    floor (0.573856353759766 × 131072)
    floor (75216.5)     		tx = 75216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425907135009766 × 217)
    floor (0.425907135009766 × 131072)
    floor (55824.5)     		ty = 55824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75216 / 55824 ti = "17/75216/55824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75216/55824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75216 ÷ 217
    75216 ÷ 131072     		x = 0.5738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55824 ÷ 217
    55824 ÷ 131072     		y = 0.4259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4259033203125 × 2 - 1) × π
    0.148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.465563169109985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46402919} λ = 0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465563169109985))-π/2
    2×atan(1.59291101460951)-π/2
    2×1.0101993614346-π/2
    2.02039872286921-1.57079632675     		φ = 0.44960240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44960240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.760320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75216 KachelY 55824 0.46402919 0.44960240 26.586914 25.760320
    Oben rechts KachelX + 1 75217 KachelY 55824 0.46407713 0.44960240 26.589661 25.760320
    Unten links KachelX 75216 KachelY + 1 55825 0.46402919 0.44955922 26.586914 25.757846
    Unten rechts KachelX + 1 75217 KachelY + 1 55825 0.46407713 0.44955922 26.589661 25.757846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44960240-0.44955922) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dl = 275.099780000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44960240-0.44955922) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dr = 275.099780000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46402919-0.46407713) × cos(0.44960240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900619973470552 × 6371000     		do = 275.072521856162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46402919-0.46407713) × cos(0.44955922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900638738982009 × 6371000     		du = 275.078253326385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44960240)-sin(0.44955922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900619973470552-0.900638738982009)×R²
    abs(0.46407713-0.46402919)×1.87655114571861e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87655114571861e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87655114571861e-05×40589641000000     		ar = 75673.1786215518m²