Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75216 / 55632
↖ ↑ ↗
← N 26.234302°
E 26.586914°		 ← 273.97 m → N 26.234302°
E 26.589661°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
N 26.231838°
E 26.586914°		 ← 273.97 m →
75 054 m²		 N 26.231838°
E 26.589661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573856353759766 y=0.424442291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573856353759766 × 217)
    floor (0.573856353759766 × 131072)
    floor (75216.5)     		tx = 75216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424442291259766 × 217)
    floor (0.424442291259766 × 131072)
    floor (55632.5)     		ty = 55632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75216 / 55632 ti = "17/75216/55632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75216/55632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75216 ÷ 217
    75216 ÷ 131072     		x = 0.5738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55632 ÷ 217
    55632 ÷ 131072     		y = 0.4244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    0.151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474767053837036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46402919} λ = 0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474767053837036))-π/2
    2×atan(1.60763966037367)-π/2
    2×1.01433563710543-π/2
    2.02867127421086-1.57079632675     		φ = 0.45787495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45787495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.234302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75216 KachelY 55632 0.46402919 0.45787495 26.586914 26.234302
    Oben rechts KachelX + 1 75217 KachelY 55632 0.46407713 0.45787495 26.589661 26.234302
    Unten links KachelX 75216 KachelY + 1 55633 0.46402919 0.45783195 26.586914 26.231838
    Unten rechts KachelX + 1 75217 KachelY + 1 55633 0.46407713 0.45783195 26.589661 26.231838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45787495-0.45783195) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45787495-0.45783195) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46402919-0.46407713) × cos(0.45787495) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896993885527208 × 6371000     		do = 273.965021262761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46402919-0.46407713) × cos(0.45783195) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897012892544766 × 6371000     		du = 273.970826495163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45787495)-sin(0.45783195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896993885527208-0.897012892544766)×R²
    abs(0.46407713-0.46402919)×1.90070175578594e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90070175578594e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90070175578594e-05×40589641000000     		ar = 75054.3346619325m²