Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75215 / 55885
↖ ↑ ↗
← N 25.609333°
E 26.584167°		 ← 275.42 m → N 25.609333°
E 26.586914°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
N 25.606856°
E 26.584167°		 ← 275.43 m →
75 857 m²		 N 25.606856°
E 26.586914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573848724365234 y=0.426372528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573848724365234 × 217)
    floor (0.573848724365234 × 131072)
    floor (75215.5)     		tx = 75215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426372528076172 × 217)
    floor (0.426372528076172 × 131072)
    floor (55885.5)     		ty = 55885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75215 / 55885 ti = "17/75215/55885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75215/55885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75215 ÷ 217
    75215 ÷ 131072     		x = 0.573844909667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55885 ÷ 217
    55885 ÷ 131072     		y = 0.426368713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573844909667969 × 2 - 1) × π
    0.147689819335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46398125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426368713378906 × 2 - 1) × π
    0.147262573242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.462639018233162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46398125} λ = 0.46398125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462639018233162))-π/2
    2×atan(1.58825990605519)-π/2
    2×1.00888175154301-π/2
    2.01776350308602-1.57079632675     		φ = 0.44696718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46398125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.584167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44696718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.609333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75215 KachelY 55885 0.46398125 0.44696718 26.584167 25.609333
    Oben rechts KachelX + 1 75216 KachelY 55885 0.46402919 0.44696718 26.586914 25.609333
    Unten links KachelX 75215 KachelY + 1 55886 0.46398125 0.44692395 26.584167 25.606856
    Unten rechts KachelX + 1 75216 KachelY + 1 55886 0.46402919 0.44692395 26.586914 25.606856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44696718-0.44692395) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44696718-0.44692395) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46398125-0.46402919) × cos(0.44696718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901762131349783 × 6371000     		do = 275.421366271304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46398125-0.46402919) × cos(0.44692395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901780815924352 × 6371000     		du = 275.427073021319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44696718)-sin(0.44692395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901762131349783-0.901780815924352)×R²
    abs(0.46402919-0.46398125)×1.86845745691055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86845745691055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86845745691055e-05×40589641000000     		ar = 75856.8786283341m²