Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75214 / 55740
↖ ↑ ↗
← N 25.967922°
E 26.581421°		 ← 274.59 m → N 25.967922°
E 26.584167°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
N 25.965453°
E 26.581421°		 ← 274.60 m →
75 383 m²		 N 25.965453°
E 26.584167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573841094970703 y=0.425266265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573841094970703 × 217)
    floor (0.573841094970703 × 131072)
    floor (75214.5)     		tx = 75214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425266265869141 × 217)
    floor (0.425266265869141 × 131072)
    floor (55740.5)     		ty = 55740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75214 / 55740 ti = "17/75214/55740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75214/55740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75214 ÷ 217
    75214 ÷ 131072     		x = 0.573837280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55740 ÷ 217
    55740 ÷ 131072     		y = 0.425262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573837280273438 × 2 - 1) × π
    0.147674560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46393331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425262451171875 × 2 - 1) × π
    0.14947509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46958986867807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46393331} λ = 0.46393331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46958986867807))-π/2
    2×atan(1.59933812003109)-π/2
    2×1.01201103479065-π/2
    2.0240220695813-1.57079632675     		φ = 0.45322574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46393331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.581421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45322574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.967922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75214 KachelY 55740 0.46393331 0.45322574 26.581421 25.967922
    Oben rechts KachelX + 1 75215 KachelY 55740 0.46398125 0.45322574 26.584167 25.967922
    Unten links KachelX 75214 KachelY + 1 55741 0.46393331 0.45318265 26.581421 25.965453
    Unten rechts KachelX + 1 75215 KachelY + 1 55741 0.46398125 0.45318265 26.584167 25.965453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45322574-0.45318265) × R
    4.30899999999679e-05 × 6371000     		dl = 274.526389999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45322574-0.45318265) × R
    4.30899999999679e-05 × 6371000     		dr = 274.526389999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46393331-0.46398125) × cos(0.45322574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899039334312526 × 6371000     		do = 274.589753971649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46393331-0.46398125) × cos(0.45318265) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89905820120458 × 6371000     		du = 274.595516406116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45322574)-sin(0.45318265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899039334312526-0.89905820120458)×R²
    abs(0.46398125-0.46393331)×1.88668920536594e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88668920536594e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88668920536594e-05×40589641000000     		ar = 75382.9248706131m²