Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75213 / 55591
↖ ↑ ↗
← N 26.335268°
E 26.578674°		 ← 273.67 m → N 26.335268°
E 26.581421°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
N 26.332807°
E 26.578674°		 ← 273.68 m →
74 904 m²		 N 26.332807°
E 26.581421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573833465576172 y=0.424129486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573833465576172 × 217)
    floor (0.573833465576172 × 131072)
    floor (75213.5)     		tx = 75213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424129486083984 × 217)
    floor (0.424129486083984 × 131072)
    floor (55591.5)     		ty = 55591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75213 / 55591 ti = "17/75213/55591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75213/55591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75213 ÷ 217
    75213 ÷ 131072     		x = 0.573829650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55591 ÷ 217
    55591 ÷ 131072     		y = 0.424125671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573829650878906 × 2 - 1) × π
    0.147659301757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.46388538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424125671386719 × 2 - 1) × π
    0.151748657226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.476732466721458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46388538} λ = 0.46388538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476732466721458))-π/2
    2×atan(1.61080244314457)-π/2
    2×1.01521673551696-π/2
    2.03043347103392-1.57079632675     		φ = 0.45963714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46388538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.578674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45963714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.335268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75213 KachelY 55591 0.46388538 0.45963714 26.578674 26.335268
    Oben rechts KachelX + 1 75214 KachelY 55591 0.46393331 0.45963714 26.581421 26.335268
    Unten links KachelX 75213 KachelY + 1 55592 0.46388538 0.45959418 26.578674 26.332807
    Unten rechts KachelX + 1 75214 KachelY + 1 55592 0.46393331 0.45959418 26.581421 26.332807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45963714-0.45959418) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dl = 273.698159999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45963714-0.45959418) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dr = 273.698159999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46388538-0.46393331) × cos(0.45963714) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896213529541642 × 6371000     		do = 273.669582694151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46388538-0.46393331) × cos(0.45959418) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896232586755964 × 6371000     		du = 273.675402043803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45963714)-sin(0.45959418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896213529541642-0.896232586755964)×R²
    abs(0.46393331-0.46388538)×1.90572143219381e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90572143219381e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90572143219381e-05×40589641000000     		ar = 74903.6576154624m²