Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75211 / 55754
↖ ↑ ↗
← N 25.933347°
E 26.573181°		 ← 274.67 m → N 25.933347°
E 26.575928°		 →
↑
274.65 m
↓
↑
274.65 m
↓
N 25.930877°
E 26.573181°		 ← 274.68 m →
75 440 m²		 N 25.930877°
E 26.575928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573818206787109 y=0.425373077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573818206787109 × 217)
    floor (0.573818206787109 × 131072)
    floor (75211.5)     		tx = 75211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425373077392578 × 217)
    floor (0.425373077392578 × 131072)
    floor (55754.5)     		ty = 55754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75211 / 55754 ti = "17/75211/55754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75211/55754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75211 ÷ 217
    75211 ÷ 131072     		x = 0.573814392089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55754 ÷ 217
    55754 ÷ 131072     		y = 0.425369262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573814392089844 × 2 - 1) × π
    0.147628784179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46378950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425369262695312 × 2 - 1) × π
    0.149261474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.468918752083389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46378950} λ = 0.46378950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468918752083389))-π/2
    2×atan(1.59826513776661)-π/2
    2×1.01170931037085-π/2
    2.02341862074169-1.57079632675     		φ = 0.45262229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46378950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.573181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45262229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.933347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75211 KachelY 55754 0.46378950 0.45262229 26.573181 25.933347
    Oben rechts KachelX + 1 75212 KachelY 55754 0.46383744 0.45262229 26.575928 25.933347
    Unten links KachelX 75211 KachelY + 1 55755 0.46378950 0.45257918 26.573181 25.930877
    Unten rechts KachelX + 1 75212 KachelY + 1 55755 0.46383744 0.45257918 26.575928 25.930877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45262229-0.45257918) × R
    4.31099999999573e-05 × 6371000     		dl = 274.653809999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45262229-0.45257918) × R
    4.31099999999573e-05 × 6371000     		dr = 274.653809999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46378950-0.46383744) × cos(0.45262229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899303401971809 × 6371000     		do = 274.670407031577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46378950-0.46383744) × cos(0.45257918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899322254228499 × 6371000     		du = 274.676164996027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45262229)-sin(0.45257918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899303401971809-0.899322254228499)×R²
    abs(0.46383744-0.46378950)×1.88522566901828e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88522566901828e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88522566901828e-05×40589641000000     		ar = 75440.0645205349m²