Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75210 / 55326
↖ ↑ ↗
← N 26.985724°
E 26.570435°		 ← 272.11 m → N 26.985724°
E 26.573181°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.983276°
E 26.570435°		 ← 272.12 m →
74 062 m²		 N 26.983276°
E 26.573181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573810577392578 y=0.422107696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573810577392578 × 217)
    floor (0.573810577392578 × 131072)
    floor (75210.5)     		tx = 75210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422107696533203 × 217)
    floor (0.422107696533203 × 131072)
    floor (55326.5)     		ty = 55326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75210 / 55326 ti = "17/75210/55326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75210/55326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75210 ÷ 217
    75210 ÷ 131072     		x = 0.573806762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55326 ÷ 217
    55326 ÷ 131072     		y = 0.422103881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573806762695312 × 2 - 1) × π
    0.147613525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46374157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422103881835938 × 2 - 1) × π
    0.155792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.489435745120773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46374157} λ = 0.46374157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489435745120773))-π/2
    2×atan(1.63139543736629)-π/2
    2×1.02089302874195-π/2
    2.0417860574839-1.57079632675     		φ = 0.47098973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46374157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.570435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47098973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.985724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75210 KachelY 55326 0.46374157 0.47098973 26.570435 26.985724
    Oben rechts KachelX + 1 75211 KachelY 55326 0.46378950 0.47098973 26.573181 26.985724
    Unten links KachelX 75210 KachelY + 1 55327 0.46374157 0.47094701 26.570435 26.983276
    Unten rechts KachelX + 1 75211 KachelY + 1 55327 0.46378950 0.47094701 26.573181 26.983276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47098973-0.47094701) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47098973-0.47094701) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46374157-0.46378950) × cos(0.47098973) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.89111961645056 × 6371000     		do = 272.114095052331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46374157-0.46378950) × cos(0.47094701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891139000626673 × 6371000     		du = 272.120014243699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47098973)-sin(0.47094701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89111961645056-0.891139000626673)×R²
    abs(0.46378950-0.46374157)×1.93841761130242e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93841761130242e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93841761130242e-05×40589641000000     		ar = 74061.8593118023m²