Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7521 / 3797
↖ ↑ ↗
← N 68.997801°
W 14.743653°		 ← 875.68 m → N 68.997801°
W 14.721680°		 →
↑
875.82 m
↓
↑
875.82 m
↓
N 68.989925°
W 14.743653°		 ← 875.99 m →
767 077 m²		 N 68.989925°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459075927734375 y=0.231781005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459075927734375 × 214)
    floor (0.459075927734375 × 16384)
    floor (7521.5)     		tx = 7521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231781005859375 × 214)
    floor (0.231781005859375 × 16384)
    floor (3797.5)     		ty = 3797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7521 / 3797 ti = "14/7521/3797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7521/3797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7521 ÷ 214
    7521 ÷ 16384     		x = 0.45904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3797 ÷ 214
    3797 ÷ 16384     		y = 0.23175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.0819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25732528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23175048828125 × 2 - 1) × π
    0.5364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68546139064117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25732528} λ = -0.25732528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68546139064117))-π/2
    2×atan(5.39493953280702)-π/2
    2×1.3875175699983-π/2
    2.77503513999659-1.57079632675     		φ = 1.20423881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25732528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.743653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20423881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.997801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7521 KachelY 3797 -0.25732528 1.20423881 -14.743653 68.997801
    Oben rechts KachelX + 1 7522 KachelY 3797 -0.25694178 1.20423881 -14.721680 68.997801
    Unten links KachelX 7521 KachelY + 1 3798 -0.25732528 1.20410134 -14.743653 68.989925
    Unten rechts KachelX + 1 7522 KachelY + 1 3798 -0.25694178 1.20410134 -14.721680 68.989925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20423881-1.20410134) × R
    0.000137470000000084 × 6371000     		dl = 875.821370000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20423881-1.20410134) × R
    0.000137470000000084 × 6371000     		dr = 875.821370000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25732528--0.25694178) × cos(1.20423881) × R
    0.000383499999999981 × 0.358403774381037 × 6371000     		do = 875.680236263996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25732528--0.25694178) × cos(1.20410134) × R
    0.000383499999999981 × 0.358532108404729 × 6371000     		du = 875.9937920249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20423881)-sin(1.20410134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358403774381037-0.358532108404729)×R²
    abs(-0.25694178--0.25732528)×0.000128334023691556×R²
    0.000383499999999981×0.000128334023691556×6371000²
    0.000383499999999981×0.000128334023691556×40589641000000     		ar = 767076.774834243m²