Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7521 / 3795
↖ ↑ ↗
← N 69.013546°
W 14.743653°		 ← 875.05 m → N 69.013546°
W 14.721680°		 →
↑
875.25 m
↓
↑
875.25 m
↓
N 69.005675°
W 14.743653°		 ← 875.37 m →
766 026 m²		 N 69.005675°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459075927734375 y=0.231658935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459075927734375 × 214)
    floor (0.459075927734375 × 16384)
    floor (7521.5)     		tx = 7521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231658935546875 × 214)
    floor (0.231658935546875 × 16384)
    floor (3795.5)     		ty = 3795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7521 / 3795 ti = "14/7521/3795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7521/3795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7521 ÷ 214
    7521 ÷ 16384     		x = 0.45904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3795 ÷ 214
    3795 ÷ 16384     		y = 0.23162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.0819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25732528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23162841796875 × 2 - 1) × π
    0.5367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6862283810351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25732528} λ = -0.25732528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6862283810351))-π/2
    2×atan(5.39907898686229)-π/2
    2×1.38765496692498-π/2
    2.77530993384996-1.57079632675     		φ = 1.20451361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25732528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.743653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20451361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.013546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7521 KachelY 3795 -0.25732528 1.20451361 -14.743653 69.013546
    Oben rechts KachelX + 1 7522 KachelY 3795 -0.25694178 1.20451361 -14.721680 69.013546
    Unten links KachelX 7521 KachelY + 1 3796 -0.25732528 1.20437623 -14.743653 69.005675
    Unten rechts KachelX + 1 7522 KachelY + 1 3796 -0.25694178 1.20437623 -14.721680 69.005675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20451361-1.20437623) × R
    0.000137379999999965 × 6371000     		dl = 875.247979999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20451361-1.20437623) × R
    0.000137379999999965 × 6371000     		dr = 875.247979999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25732528--0.25694178) × cos(1.20451361) × R
    0.000383499999999981 × 0.358147216729857 × 6371000     		do = 875.053394470856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25732528--0.25694178) × cos(1.20437623) × R
    0.000383499999999981 × 0.358275480265027 × 6371000     		du = 875.366778008672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20451361)-sin(1.20437623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358147216729857-0.358275480265027)×R²
    abs(-0.25694178--0.25732528)×0.000128263535170592×R²
    0.000383499999999981×0.000128263535170592×6371000²
    0.000383499999999981×0.000128263535170592×40589641000000     		ar = 766025.861262187m²