Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7521 / 3782
↖ ↑ ↗
← N 69.115611°
W 14.743653°		 ← 870.99 m → N 69.115611°
W 14.721680°		 →
↑
871.17 m
↓
↑
871.17 m
↓
N 69.107777°
W 14.743653°		 ← 871.30 m →
758 915 m²		 N 69.107777°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459075927734375 y=0.230865478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459075927734375 × 214)
    floor (0.459075927734375 × 16384)
    floor (7521.5)     		tx = 7521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230865478515625 × 214)
    floor (0.230865478515625 × 16384)
    floor (3782.5)     		ty = 3782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7521 / 3782 ti = "14/7521/3782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7521/3782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7521 ÷ 214
    7521 ÷ 16384     		x = 0.45904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3782 ÷ 214
    3782 ÷ 16384     		y = 0.2308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.0819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25732528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2308349609375 × 2 - 1) × π
    0.538330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69121381859558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25732528} λ = -0.25732528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69121381859558))-π/2
    2×atan(5.42606296561641)-π/2
    2×1.38854565219482-π/2
    2.77709130438964-1.57079632675     		φ = 1.20629498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25732528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.743653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20629498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.115611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7521 KachelY 3782 -0.25732528 1.20629498 -14.743653 69.115611
    Oben rechts KachelX + 1 7522 KachelY 3782 -0.25694178 1.20629498 -14.721680 69.115611
    Unten links KachelX 7521 KachelY + 1 3783 -0.25732528 1.20615824 -14.743653 69.107777
    Unten rechts KachelX + 1 7522 KachelY + 1 3783 -0.25694178 1.20615824 -14.721680 69.107777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20629498-1.20615824) × R
    0.00013674000000008 × 6371000     		dl = 871.170540000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20629498-1.20615824) × R
    0.00013674000000008 × 6371000     		dr = 871.170540000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25732528--0.25694178) × cos(1.20629498) × R
    0.000383499999999981 × 0.356483446310132 × 6371000     		do = 870.988339975406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25732528--0.25694178) × cos(1.20615824) × R
    0.000383499999999981 × 0.356611199383108 × 6371000     		du = 871.300476311918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20629498)-sin(1.20615824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356483446310132-0.356611199383108)×R²
    abs(-0.25694178--0.25732528)×0.000127753072976244×R²
    0.000383499999999981×0.000127753072976244×6371000²
    0.000383499999999981×0.000127753072976244×40589641000000     		ar = 758915.345643401m²