Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7521 / 10534
↖ ↑ ↗
← S 45.675482°
W 14.743653°		 ← 1 707.17 m → S 45.675482°
W 14.721680°		 →
↑
1 706.92 m
↓
↑
1 706.92 m
↓
S 45.690833°
W 14.743653°		 ← 1 706.70 m →
2 913 602 m²		 S 45.690833°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459075927734375 y=0.642974853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459075927734375 × 214)
    floor (0.459075927734375 × 16384)
    floor (7521.5)     		tx = 7521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642974853515625 × 214)
    floor (0.642974853515625 × 16384)
    floor (10534.5)     		ty = 10534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7521 / 10534 ti = "14/7521/10534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7521/10534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7521 ÷ 214
    7521 ÷ 16384     		x = 0.45904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10534 ÷ 214
    10534 ÷ 16384     		y = 0.6429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.0819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25732528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.898145751281372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25732528} λ = -0.25732528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898145751281372))-π/2
    2×atan(0.4073242403851)-π/2
    2×0.386804387706259-π/2
    0.773608775412518-1.57079632675     		φ = -0.79718755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25732528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.743653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79718755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.675482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7521 KachelY 10534 -0.25732528 -0.79718755 -14.743653 -45.675482
    Oben rechts KachelX + 1 7522 KachelY 10534 -0.25694178 -0.79718755 -14.721680 -45.675482
    Unten links KachelX 7521 KachelY + 1 10535 -0.25732528 -0.79745547 -14.743653 -45.690833
    Unten rechts KachelX + 1 7522 KachelY + 1 10535 -0.25694178 -0.79745547 -14.721680 -45.690833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79718755--0.79745547) × R
    0.000267920000000088 × 6371000     		dl = 1706.91832000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79718755--0.79745547) × R
    0.000267920000000088 × 6371000     		dr = 1706.91832000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25732528--0.25694178) × cos(-0.79718755) × R
    0.000383499999999981 × 0.698721479395608 × 6371000     		do = 1707.1711680954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25732528--0.25694178) × cos(-0.79745547) × R
    0.000383499999999981 × 0.698529786012533 × 6371000     		du = 1706.70280777394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79718755)-sin(-0.79745547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698721479395608-0.698529786012533)×R²
    abs(-0.25694178--0.25732528)×0.00019169338307512×R²
    0.000383499999999981×0.00019169338307512×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019169338307512×40589641000000     		ar = 2913602.03322053m²