Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75207 / 55737
↖ ↑ ↗
← N 25.975330°
E 26.562195°		 ← 274.52 m → N 25.975330°
E 26.564941°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
N 25.972861°
E 26.562195°		 ← 274.52 m →
75 362 m²		 N 25.972861°
E 26.564941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573787689208984 y=0.425243377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573787689208984 × 217)
    floor (0.573787689208984 × 131072)
    floor (75207.5)     		tx = 75207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425243377685547 × 217)
    floor (0.425243377685547 × 131072)
    floor (55737.5)     		ty = 55737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75207 / 55737 ti = "17/75207/55737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75207/55737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75207 ÷ 217
    75207 ÷ 131072     		x = 0.573783874511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55737 ÷ 217
    55737 ÷ 131072     		y = 0.425239562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573783874511719 × 2 - 1) × π
    0.147567749023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.46359776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425239562988281 × 2 - 1) × π
    0.149520874023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.46973367937693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46359776} λ = 0.46359776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46973367937693))-π/2
    2×atan(1.59956813850301)-π/2
    2×1.01207567849254-π/2
    2.02415135698507-1.57079632675     		φ = 0.45335503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46359776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.562195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45335503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.975330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75207 KachelY 55737 0.46359776 0.45335503 26.562195 25.975330
    Oben rechts KachelX + 1 75208 KachelY 55737 0.46364569 0.45335503 26.564941 25.975330
    Unten links KachelX 75207 KachelY + 1 55738 0.46359776 0.45331194 26.562195 25.972861
    Unten rechts KachelX + 1 75208 KachelY + 1 55738 0.46364569 0.45331194 26.564941 25.972861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45335503-0.45331194) × R
    4.30899999999679e-05 × 6371000     		dl = 274.526389999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45335503-0.45331194) × R
    4.30899999999679e-05 × 6371000     		dr = 274.526389999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46359776-0.46364569) × cos(0.45335503) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.898982714861086 × 6371000     		do = 274.515186744742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46359776-0.46364569) × cos(0.45331194) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.899001586761678 × 6371000     		du = 274.520949506617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45335503)-sin(0.45331194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898982714861086-0.899001586761678)×R²
    abs(0.46364569-0.46359776)×1.88719005921323e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.88719005921323e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88719005921323e-05×40589641000000     		ar = 75362.4542438848m²